探究与发现 组合数的两个性质教学设计模板

组合数的两个性质

教学目的：熟练掌握组合数的计算公式；

掌握组合数的两个性质，

并且能够运用它解决一些简单的应用问题。

教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。

教学难点：利用组合数性质进行一些证明。

教学过程：

一、复习回顾：

1．复习排列和组合的有关内容：

排

列

组

合

定

义

特

点

相同

公

式

强调：排列——次序性；组合——无序性．

2．练习

1：求证：CmnnmCm1n1．

（本式也可变形为：mCC37mnnCm1n1）

2：计算：①

C310和C10；

②

7C26与C6；③

3C11C1145

（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）

二、新授内容：

1．组合数的

性质1：C

nmCnmn．

理解：

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n



m个元素．因

为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n



m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个．．．．元素中取出n



m个元素的组合数，即：Cn法”与“剩法”是“一一对应”的思想．

证明：∵Cnnm

又

n!(nm)![n(nm)]!n!m!(nm)!mCnmn．在这里，我们主要体现：“取n!m!(nm)!m

nmnCmn

∴Cn

C

注：1

我们规定

C0n1

2

等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．

3

此性质作用：当m例如：C2002＝C2002

4

Cxn20012002n2时，计算C＝C12002mn可变为计算Cnnm，能够使运算简化．

2001=2002．

Cynxy或xyn2．例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

⑴

从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

⑵

从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

⑶

从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解：⑴

C8356

⑵

C7322137

⑶

C3735

引导学生发现：C8C27C．为什么呢？

我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．

一般地，从a1,a2,,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cmn1，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从a2,这n个元素中取出m 1个元素与a1组成的，共有Ca2,a3,,an1这m1na3,,an1个；不含有a1的组合是从个．根据分类计数原理，可n个元素中取出m个元素组成的，共有Cmn以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

3．组合数的

性质2：C

证明：

Cmnmn1＝Cmn+Cm1n．

n!Cm1nn!m!(nm)!

(m1)![n(m1)]!

∴

Cmn1n!(nm1)n!mm!(nm1)!

(nm1m)n!m!(nm1)!

(n1)!m!(nm1)!

Cmnmn1

m1n＝C+C．

注：1

公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．

2

此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．

4．补充例题

⑴

计算：C7⑵

求证：C3C47Cn58Cn169

n2mnm2＝Cm+2Cm+CC132x3

⑶

解方程：C13x1

⑷

解方程：C⑸

计算：C40

推广：C0nx2x2Cx3x2110Ax3443

和C50C14C24C34CCnn15Cn25C35C45C55

C1nC2nCn1nC2

5．组合数性质的简单应用：

证明下列等式成立：

⑴

（讲解）Cn1⑵

（练习）Ck⑶

C1nkCkkn2Ckkn3Ckkk1CkkCk1n

kC3nk1Ck2CnnknC1nk1nk1

nn2C2n3CnCn2(C0nCC)

三、作业：

课堂作业：P103

1#，2#

课外作业：课本习题10.3；5#—8#

四、小结：1．组合数的两个性质；

2．从特殊到一般的归纳思想．

酒钢三中高二数学组