一 比较法教学设计内容推荐

教学设计

比 较 法

1．理解比较法证明不等式的依据．

2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．(重点) 3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．(难点)

一、基础·初探

（一）教材整理1

作差比较法

阅读教材P21～P22例2，完成下列问题．

1．理论依据：①a＞b⇔a－b＞0；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔a－b＜0. 2．定义：要证明a＞b，转化为证明a－b＞0，这种方法称为作差比较法．

3．步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论．

试一试

若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则(

) A．ω＞u

B．ω＜u

C．ω≥u

D.无法确定

22y3y【解析】

∵ω－u＝x2－xy＋y2＝x－2＋4≥0，∴ω≥u.

【答案】

C （二）教材整理2

作商比较法

阅读教材P22～P23“习题”以上部分，完成下列问题．

aaa1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔b＞1；②a＜b⇔b＜1；③a＝b⇔b＝1. a2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明b＞1，这种方法称为作商比较法．

3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．

试一试

aa下列命题：①当b＞0时，a＞b⇔b＞1；②当b＞0时，a＜b⇔b＜1；③当a＞0，b＞0aa时，b＞1⇔a＞b；④当ab＞0时，b＞1⇔a＞b.其中真命题是(

) A．①②③

B．①②④ C．④

D.①②③④

a【解析】

由不等式的性质，①②③正确．当ab＞0时(若b＜0，a＜0)，b＞1与a＞b不等价，④错．

【答案】

A 二、合作

探究[小组合作型] 题型1：作商比较法证明不等式

a＋b

已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：aabb＞(ab)2. a＋b【精彩点拨】

判断aabb与ab2的正负→作商变形→与1比较大小→下结论

a－b【自主解答】

∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)2＞0，

a＋ba＋ba－b－－aab2·2＝b2.

作商＝aabba＋bab2ab∵a≠b，∴当a＞b＞0时，

a－ba－baa＞1且＞0，∴b2＞1，

b2a＋ba＋b而(ab)2＞0，∴aabb＞(ab)2.

a－ba－baa当b＞a＞0时，0＜b＜1且2＜0，∴b2＞1，

a＋ba＋b而(ab)2＞0，∴aabb＞(ab)2.

a＋b综上可知a＞0，b＞0且a≠b时，有aabb＞(ab)2. 点拨与总结

1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．

a2．运用a＞b⇔b＞1证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．

[再练一题]

1．已知m，n∈R＋，求证：m＋nm＋nnm≥m·n. 2【证明】

因为m，n∈R＋，

m＋nm＋n所以2≥mn＝m＋nmn2，

m＋nm－nn－mm－nmmn22·2＝n2，

令ω＝mn·nm＝mnm则：①当m>n>0时，n>1，m－n>0，则ω>1.

②当m＝n时，ω＝1.

m③当n>m>0时，01.

故对任意的m，n∈R＋都有ω≥1.

m＋n即m＋nm＋nnmmn2≥m·n，

m＋nm＋nnm所以2≥m·n.

题型2 比较法的实际应用

甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？

【精彩点拨】

设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了．

【自主解答】

设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的t1t1ss时间分别为t1, t2，依题意有：2m＋2n＝s，2m＋2n＝t2.

sm＋n2s∴t1＝，t2＝2mn，

m＋nsm＋ns[4mn－m＋n2]2s∴t1－t2＝－2mn＝

m＋n2mnm＋nsm－n2＝－.

2mnm＋n

其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2＜0，即t1＜t2，

从而知甲比乙先到达指定地点．

点拨与总结

1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．

2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．

[再练一题] 2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？

l2【解】

设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·2π，截面是l2正方形的水管的截面面积为4.

22l2l2l114－πl∵π·2π－4＝4π－4＝16π.

4－πl2由于l＞0,0＜π＜4，∴16π＞0，

l2l2∴π·2π＞4.

因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．

探究：

作差法遵循什么步骤？适用于哪些类型？

【提示】

“作差法”的理论依据是实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系：“a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0”，其一般步骤为“作差→变形→判号→定论”．其中变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或一个常数与几个平方和的形式，或几个因式的积的形式等．当所得的“差式”是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．作差法一般用于不等式的两边是多项式或分式．

已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b. 【精彩点拨】

此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．

【自主解答】

法一

∵a2＋b2－ab－a－b＋1

1＝2[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，

∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.

法二

a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1，

对于a的二次三项式，

Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.

∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，

故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.

点拨与总结

1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．

2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．

[再练一题] 3．已知a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. 【证明】

∵a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)

＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)

＝(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．

∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0，

∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0，

即a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. 三、课堂检车

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是(

) A．t＞s

C．t＜s

B．t≥s

D.t≤s

【解析】

s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，

∴s≥t.

【答案】

D

2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是(

)

【导学号：32750030】

A．P＞Q

C．P＝Q

B．P＜Q

D.大小不确定

3a＋132【解析】

P－Q＝loga(a＋1)－loga(a＋1)＝loga2.

a＋13a＋132当0＜a＜1时，0＜a＋1＜a＋1，则0＜2＜1，

a＋1a3＋1∴loga2＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.

a＋13a＋132当a＞1时，a＋1＞a＋1＞0，2＞1，

a＋1a3＋1∴loga2＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.

a＋1综上总有P＞Q，故选A.

【答案】

A bb＋m3．设a，b，m均为正数，且a＜，则a与b的大小关系是________．

a＋m【解析】

b＋mbma－b－＝＞0.

a＋maaa＋m又a，b，m为正数，

∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0.

即a＞b.

【答案】

a＞b

4．设a＞b＞0，x＝a＋b－a，y＝a－a－b，则x，y的大小关系是x________y. a＋b－aa＋a－ba＋a＋bx【解析】

∵y＝＝＜＝1，且x＞0，y＞0，

a－a－ba＋a＋ba＋a＋b∴x＜y.

【答案】

＜

5．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. 【证明】

2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)

＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0,

从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，

即2a3－b3≥2ab2－a2b.