一 比较法课件配套优秀教案案例

课题：不等式证明一（比较法）

目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

过程：

一、复习：

1．不等式的一个等价命题

2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论

二、作差法：（P13—14）

1．

求证：x2 + 3 > 3x

证：∵(x2 + 3)  3x = x23x(32)2(3332)23(x2)240

∴x2 + 3 > 3x

2．

已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：amabmb

证：ambmabb(am)a(bm)b(bm)m(ba)b(bm)

∵a,b,m都是正数，并且a 0 ,

b



a > 0 ∴m(ba)b(bm)0

即：ambmab

变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？

3．

已知a, b都是正数，并且a



b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

证：(a5 + b5 )  (a2b3 + a3b2) = ( a5



a3b2) + (b5



a2b3 )

= a3 (a2



b2 ) 

b3 (a2



b2) = (a2



b2 ) (a3



b3) = (a + b)(a



b)2(a2 + ab + b2) ∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0 又∵a



b，∴(a



b)2 > 0

∴(a + b)(a



b)2(a2 + ab + b2) > 0 即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

4．

甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m



n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？

解：设从出发地到指定地点的路程为S，

甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，

则：t1mt1S2SS(mn)22nS,2mS2nt2

可得：t1mn,t22mn

t2SS(mn)S[4mn(mn)2]S(mn)2∴1t2mn2mn2(mn)mn2mn(mn)

∵S, m, n都是正数，且m



n，∴t1



t2 < 0

即：t1 < t2 从而：甲先到到达指定地点。

变式：若m = n，结果会怎样？

三、作商法

ab5．

设a, b

 R+，求证：aabb(ab)2abba

abba

证：作商：aabbaba2b2(a2ab(ab)2b)

ab当a = b时，(a2b)1

ab

当a > b > 0时，a1,ab2b20,(ab)1

ab

当b > a > 0时，

0aab2b1,20,(ab)1

ab∴aabb(ab)2

（其余部分布置作业）

作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。

四、课堂反馈

1、已知a1.

求证：

（1）a22a1;

（2）2a1.

源:学科网]

2、已知a≠0，比较1a23、已知a≠0，比较a22a1a22a1与a2a1a2a1的大小．

a22a1a22a1与a2a1a2a1的大小．

五、小结：作差、作商

六、作业：课后练习及

习题1—4