2.基本不等式教案设计（一等奖）

2018学年

秋

季学期

高二_ 年级

数学

学科

集体备课记录表（“六备式”大教案）

课题

课型

新授课

基本不等式

年级班级

授课时间

参备教师

课时

2课时

高二年级216、217班

2019年5月31日

王晓雪

万朝银

王光发

刘军

备课时间

2019年5月28日

主备教师

杨玉丹

备课标

备教材

教学目标：（包括知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观）

1．知识与技能：

了解基本不等式的代数、几何背景；掌握基本不等式的证明；应用基本不等式解决简单的数学问题。

2．过程与方法：

通过探索基本不等式的过程，利用数形结合的方法，体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。

3．情感、态度与价值观：

在探索过程中，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯。

教学重点和难点：

重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式abab2的证明过程；

难点：发现并对基本不等式给出几何解释；应用基本不等式解决简单的数学问题。

简要概括学生学习情况，了解学生学习基础，提出对学生学习方法的培养和能力提高的策略：

216班学生基础较弱，虽然在必修五已经学过了这一节的内容，但大部分的只是已经忘记了，因此本节内容我打算重新带学生学一遍。本节课以探究学习为主，通过小组讨论培养学生合作探究的能力，通过探讨、总结等方法，提高学生分析问题，解决问题的能力，从而达到较好的学习效果。

教学方法：

讨论法、讲授法、练习法

教学辅助：

黑板、粉笔、直尺

1 备学法

备教法

教学设计：

（一）几何引入

如图是2002年在北京召开的国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的.该图形颜色的明暗看上去像个旋转的风车，既反映中国人在数学研究中的创新精神与中国古代数学家在数学领域的贡献，又代表中国人民的热情好客. 同学们知道这个图形蕴含了哪些数学知识？

（二）由形到数，以数释理

探究：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为a,b，那么4个直角三角形的面积之和S12ab，正方形的边长为

备教材、

备考纲

a2b2．于是，正方形的面积S2a2b2．

由图可知S1S2，即a2b22ab．

问：

S1与S2是否相等，若相等，在什么情况下相等？

当且仅当ab时，S1与S2相等。

问：当a,b为任意实数时，不等式还成立吗？你能用代数方法给出证明吗？

2222(ab)a2abb(ab)0,得证：对任意的实数a,b,由完全平方公式，a22abb20,即a2b22ab.当且仅当a=b时取等号. 得到重要不等式：

22一般地，对于任意实数a、b，总有ab2ab；当且仅当a=b时，等号成立。

文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.

探究：当a,b为正数时，用a，b代替a,b你能得到什么结论？能用代数方法给出证明吗？

ab结论：如果a0，b0，可以得到ab2ab，可以写作ab。

2证：（分析法）：由于a,bR，于是

要证明

abab，只要证明

ab2ab，

22

ab2ab0，

即

ab0，该式显然成立，

即证

222所以abab，当且仅当ab时取等号．

2这样就得到了基本不等式。

基本不等式：

对于任意正数a，b，有abab，当且仅当ab时等号成立. 2ab我们通常把ab称为正数a，b的几何平均数；把称为正数a，b的算术平均2数。

基本不等式又可叙述为：

两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。

提示：应用基本不等式求最值以及证明不等式的条件：一正，二定，三相等。

（三）、寓理于形，丰富内涵

探究三：

你能利用几何图形给出基本不等式的几何解释吗? ,X,K] 如图，于的弦是圆的直径，点是，连接．

斜边，

上一点，，．过点作垂直根据射影定理可得：由于Rt于是有立．

故而再次证明：

对于任意正数a、b，有ab中直角边

当且仅当点与圆心重合时，即时等号成ab2（当且仅当时，等号成立）

基本不等式也可以叙述为：在圆中半径长不小于半弦长

在直角三角形中斜边上的中线长不小于斜边上的高

（四）、灵活变形，数学运用

基本不等式的变形有：

3

ab2ab(a0,b0);abab(a0,b0);2abab(a0,b0).2

2

例1 求下列函数的最小值，并求出自变量满足什么条件时取得最小值. (1)yx22(x0)x21(x1)x1；

(2)yx；

(3)ysinx1(x0,)sinx2；

这是必修五中的例题，快速讲解，使学生将知识回忆起来。

例2 设a，bR，且ab.求证：

（1）ab2ab2； （2）ab. baab本题较简单，学生可以直接使用基本不等式得到。

例3 设a，b，c是不全相等的正数，求证：

（1）(ab)(bc)(ca)8abc；

（2）abcabbcca. 本题难度有所升高，重点在于讲清思路，再让学生自行动手解决，看学生的完成情况确定讲解的速度。

（五）．课堂小结：

1.应用基本不等式时要注意不等式的结构特征、等式成立条件及等号成立条件．

2. 理解基本不等式的几何解释，体会数形结合思想；并会证明简单不等式；

3.体会不等式的灵活变形，形成基本不等式链。

留下问题，让学生课下思考

三个正数的算术-几何平均数是否还满足上面的不等式？请同学们下来思考。

4

备教材、

备考纲

板书设计：

一、重要不等式

二、基本不等式

二、例题讲解

例1

例2

例3

备作业

课堂作业：

课本第10页课后练习5,6,7三题。

课外作业：

同步解析课后练习的基础巩固共10题。

值以及证明不等式，在讲解的过程中，我发现好多学生对应用基本不等式证明不等式存在较大的问题，从课下的作业中也发现，难度偏中档的题目也有许多问题，因此，课后还应该找一节习题课专门讲解方法。

教学反思

本节课最重要的内容是基本不等式以及基本不等式变形的应用，主要是找最

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