二 用数学归纳法证明不等式教学实录及点评

选修4-5：第四讲

数学归纳法证明不等式（第二讲）

二、用数学归纳法证明不等式

主讲人：张东辉

本节为人教A版2005年普通高中课程标准实验教科书，选修4-5不等式选讲第四讲第二节，教材与学情分析：此前学习已经学习了不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，对不等式的证明有了一定的基础。本讲第一节学习了数学归纳法的基本思想和步骤，增加数学归纳法在不等式证明中的应用。对于理科学生，已在选修2-2第二章2.3中学习了数学归纳法，并能在等式证明能很好的应用。本节课做为不等式证明的基本方法，主要对证明步骤进行强化，体会数学归纳法与其它证明法的不同和使用的范围和条件。

一、教学目标: 1. 知识与技能：理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤; 2.过程与方法：掌握数学归纳法证明不等式的方法，并用数学归纳法证明不等式，理解数学归纳法证明不等式的使用条件和适用范围

3.情感态度：通过数学归纳法的应用，培养严谨的数学思维习惯

二、教学重点与难点

1.教学重点：数学归纳法证明不等式的解题步骤

2.教学难点：数学归纳法证明不等式的应用

三、教学手段：

1.采用“归纳总结”“引导启发”方式进行教学；2.讲授式、自主学习的综合运用．

1、[知识回顾]

关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明

其正确性：

0

教学活动1

1. 验证n取 时命题 ( 即n＝n时命题成立)

(归纳奠基）；考题体验

（课前自检）

20.

假设当 时命题成立，证明当n=k＋1时命题

(归纳递推）.

30. 由10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题

！(结论）

教学活动1 [方法点评] 回顾数学归纳法的基本思想和基本步骤，养成善于总结、归纳的好习惯

要诀: 递推基础

, 归纳假设

, 结论写明

.

教学活动2 2、[新知探究]：

[方法点评] 引导学生从

探究：

用数学归纳法证明不等式sinn≤nsin.(nN)

具体的例子出发，探究数（1）利用数学归纳法的基本思想和步骤，证明该不能式；具体步骤怎么设计？

学归纳法在（2）如果不用数学归纳法，其它方法怎么证明？数学归纳法的优势在哪里？

证明不等式

中的应用；体

会数学归纳

法适用条件。

3、[例题讲解]：

例1证明贝努力（Bernoulli）不等式：

教学活动3 如果x是实数，且x> 1，且x0，nN*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx[总结归纳] .

1总结数学

证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2归纳法的证=1+2x+x2 明步骤；

2第（2）步

∵

x0，∴

1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立

怎么用到假（2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即

(1+x)k设. >1+kx

当n=k+1时，因为x> 1 ，所以1+x>0，于是

左边=(1+x)k+1

右边=1+(k+1)x．

因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．

这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．

根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.

例2 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,,an的乘积a1a2an1,

那么它们的和a1a2an≥n.

证明:⑴当n1时,有a11，命题成立. ⑵设当nk(k≥1)时，命题成立，即若k个正数a1,a2,,ak的乘积a1a2ak1, 那么它们的和a1a2ak≥k. 那么当nk1时,已知k1个正数a1,a2,,ak,ak1满足a1a2akak11. 若k1个正数a1,a2,,ak,ak1都相等,则它们都是1.其和为k1,命题成立. 若这k1个正数a1,a2,,ak,ak1不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数 (否则与a1a2akak11矛盾).不妨设a11,a21.

4、[课堂练习]：

证明:111112(nN,n≥2).22223nn

1513532 故不等式成立. ,右边= ,由于224224211112.

22223kk教学活动4 [巩固训练]

1、学生自主训练、老师对存在问题和难点进行引导和点评；

2、第（2）问可以用放缩法也可以利用比较法

1.

证:(1)当n=1时,左边=1

(2)假设n=k( kN,k≥2)时命题成立,即1

则当n=k+1时, 1111111

22232k2(k1)2k(k1)2

21111111122()2.

2k(k1)kk(k1)kkk1k1 即当n=k+1时,命题成立.

由(1)、(2)原不等式对一切nN,n≥2都成立.

教学活动4 展示学习的作品，总结方法

2.当n≥2时,求证:11212131nn

（1）当n2时，左式11217.2右式 当n2时，不等式成立

2 （2）假设当nk(2)时，不等式成立，即112131k1k11kk

1k1 则当nk1时，左式11213k

k(k1)1k1kk1k1k1k1k1右式

当nk1时，不等式成立。

由（1）（2）可知，对一切nN，且n2，不等式都成立。

5、[课堂小结]：

6、 [课后作业]：

1、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的

值为(

)

A.30

B.26

C.36

D.6 2、.观察下列式子：113,2211152,22331111722

22344

…则可归纳出____

_____.

3、求证：

11n1n215(n2,nN)

3n6114、已知，Sn123

1,nN，

用数学归纳法证明：

nnS2n1(n2,nN)

2n2*22n(nN)．

5、.求证：用数学归纳法证明