3.2.2 复数代数形式的乘除运算精品学案

§3.2.2复数代数形式的乘除运算（导学案）

【学习目标】

1、知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；

2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化；

3、情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系. 【重点难点】

重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用. 【学法指导】

复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将i2换成1；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识链接】

1、复数z1与z2的和的定义：z1z2abicdiacbdi；

2、复数z1与z2的差的定义：z1z2abicdiacbdi；

3、复数的加法运算满足交换律:z1z2z2z1；

4、复数的加法运算满足结合律: z1z2z3z1z2z3；

5、复数zabia,bR的共轭复数为zabi.

【问题探究】

探究一、复数的乘法运算

引导1:乘法运算规则

设z1abi、z2cdia,b,c,dR是任意两个复数，

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

z1z2 类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数.

引导2:试验证复数乘法运算律

（1）z1z2z2z1 （2）z1z2z3z1z2z3

（3）z1z2z3z1z2z1z3

点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

探究二、复数的除法运算

引导1：复数除法定义：

满足cdixyiabi的复数xyix,yR叫复数abi除以复数cdi 的商，记为：abicdi或者引导2：除法运算规则：

利用cdicdic2d2.于是将原式=abicdi0. cdiabi的分母有理化得：

cdiabi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcad22i. 2222cdcdcd

∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcadi. c2d2c2d2点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数cdi与复数cdi，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而cdicdic2d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

【典例分析】

例1：（1）、（2+ i）i （2）、

（1 -2 i）（ 3+ i ）

例2：

12i34i2i

引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.

点拨：在复数的乘法运算过程中注意将i2换成－1.

例3、计算：（1）34i34i

；

（2）1i2. 引导:按照复数乘法运算展开即可. 归纳：我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.

例4：计算(12i)(34i)

引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可. 点拨归纳：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.

变式训练：

计算：1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010的值．

引导：in的周期性化简

【课堂小结】 1、复数乘法运算法则是什么？其满足哪些运算律？

2、怎样的两个复数互为共轭复数？复数与其共轭复数之间有什么性质？

3、复数除法的运算法则是什么？

【课后作业】

1、课本P112页

习题3.2A组

2、练习册：P50—51页