探究与发现 组合数的两个性质教案设计（一等奖）

1．2.2 组

合

第1课时

组合与组合数公式

【课标要求】

1．理解组合与组合数的概念．

2．会推导组合数公式，并会应用公式求值．

3．了解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．

【核心扫描】

1．组合的概念及组合与组合数的区别．(易错点) 2．组合数公式的推导．(难点) 3．组合数公式的应用．(重点)

自学导引

1．组合

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

想一想：组合与排列有什么异同点？

提示

组合与排列问题共同点是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”；不同点是前者是“不管顺序合成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”．

2．组合数与组合数公式

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个组合数定义

不同元素中取出m个元素的组合数.

Cm表示法

n

nn－1…n－m＋1乘积形式

Cm＝

nm！组合数公式

n！阶乘形式

Cm＝

nm！n－m！性质

备注

32试一试：试求C28＋C8＋C9的值．

32323提示

C28＋C8＋C9＝C9＋C9＝C10＝nmCm__；

n＝__Cnmm－1Cm__ n＋1＝Cn＋__Cn*①n，m∈N且m≤n

②规定C0n＝1 －10×9×8＝120. 3×2×1名师点睛

1．对组合定义的理解

(1)组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”．“合成一组”表示与元素的顺序无关．

(2)如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，如ab与ba是两个不同的排列，但它们是同一个组合；如果两个组合中的元素不完全相同，那么这两个组合就是不同的组合．

(3)组合与排列问题的共同点都是“从n个不同元素中任取出m个元素”；不同点：前者与元素的顺序无关，为“将取出的元素合成一组”，后者是“将取出的元素按照一定顺序排成一列”．

2．组合数公式两种形式的适用范围

形式

主要适用范围

乘积形式

计算具体含数字的组合数的值

阶乘形式

含字母的组合数的有关变形及证明

mn－m3.对等式Cn＝Cn的理解

从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n－m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n－m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素n－m中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n－m个元素的组合数．即Cm. n＝Cn－mm14．对等式Cm的理解

n＋1＝Cn＋Cn在确定从n＋1个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取m－1两种可能．如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m－1)个元素，所以共有Cn种，如果不取这一元素，则需从剩下n个元素中取出m个元素，所以共有Cmn种．由分类加

mmm－1法计数原理得Cn＋1＝Cn＋Cn.

题型一

组合概念的理解

【例1】

判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．

(1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？

(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？

(3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？

(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？

[思路探索]

解答本题主要是分清取出的这m个元素是进行排列还是组合，即确定与顺序有关还是无关．

解

(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C210＝45. (2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C210＝45. (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为C310＝120. (4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为A310＝720. [规律方法]

排列、组合问题的判断方法

(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序．

(2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

【变式1】

判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来．

(1)若已知集合{1,2,3,4,5,6,7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？

(2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？

(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？

解

(1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C37个．

(2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共写了A28个电子邮件．

(3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A24种飞机票；票价2只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有C4种票价．

题型二

组合数公式的应用

9899【例2】

(1)计算：C9799＋C99＋C100；

－n9－n(2)求值：C5n＋Cn＋1；

3n＋6n－2(3)解方程：C18＝C418. [思路探索]

利用组合数公式及其性质求解．

97999899992解

(1)C99＋C9899＋C100＝C100＋C100＝C101＝C101＝5 050；

0≤5－n≤n，(2)由组合数定义知：

0≤9－n≤n＋1，∴4≤n≤5，又∵n∈N*，∴n＝4或5. －n9－n15当n＝4时，C5n＋Cn＋1＝C4＋C5＝5；

－n9－n04当n＝5时，C5n＋Cn＋1＝C5＋C6＝16. (3)由原方程及组合数性质可知

3n＋6＝4n－2，或3n＋6＝18－(4n－2)，

∴n＝2，或n＝8，而当n＝8时，

3n＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去．

因此n＝2. [规律方法]

nn－1n－2…n－m＋1Amnm(1)公式Cn＝m＝，一般用于求值计算；

Amm！n！(2)公式Cm(m，n∈N*，且m≤n)，一般用于化简证明．在具体选择公式n＝m！n－m！时要根据题目特点正确选择．

n－mmm－1(3)根据题目特点合理选用组合数的两个性质Cm，Cm，能起到简化n＝Cnn＋1＝Cn＋Cn运算的作用，需熟练掌握．

98【变式2】

(1)计算：C100＋C199200；

38－n3n(2)求C3n＋C21＋n的值；

n(3)证明：CmCm－. n＝n－mn1100×999821(1)解

C100＋C199＋200＝4 950＋200＝5 150. 200＝C100＋C200＝2(2)解

由组合数定义知：

19≤n≤38，20≤38－n≤3n，即

210≤3n≤21＋n.0≤n≤.21921∴≤n≤，∵n∈N*，∴n＝10，

2230×29－n3n283021∴C38＋C＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466. ＋3n21n303130312×1n－1！n！nn(3)证明

Cm·＝＝Cmn－1＝n. n－mn－mm！n－1－m！m！n－m！题型三

组合的简单应用

【例3】

一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．

(1)共有多少种不同的取法？

(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？

(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？

审题指导

先把实际问题化归为组合问题，再利用组合数公式计算．

38×7×6[规范解答]

(1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是C5＝C＝88＝3×2×156.(4分) (2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成：

第一步，从7个白球中任取4个白球，有C47种取法；

1第二步，把1个红球取出，有C1种取法．

故不同取法的种数是：

443C7·C11＝C7＝C7＝35.(8分) (3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球



7×6中任取5个白球即可，不同取法的种数是C57＝C27＝＝21.(12分) 2×1【题后反思】

基本组合问题的解法：

(1)判断是否为组合问题；

(2)是否分类或分步；

(3)根据组合相关知识进行求解．

【变式3】

现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．

(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？

(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？

(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

解

(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个10×9元素的组合数，即C2＝45(种)．

10＝2×1(2)可把问题分两类情况：

第一类，选出的2名是男教师有C26种方法；

第二类，选出的2名是女教师有C24种方法．

22根据分类加法原理，共有C6＋C4＝15＋6＝21种不同选法．

2(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C4种，根据6×54×32分步乘法计数原理，共有选法C2×C＝×＝90(种)．

642×12×1误区警示

重复计算出错

【示例】

从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有多少种？

[错解]

先保证各1台，再从剩下的电视机中任取一台，即分三步：

第一步，从甲型电视机中取一台，有C14种取法；

第二步，从乙型电视机中取一台，有C15种取法；

第三步，从剩下的七台电视机中取一台，有C17种取法，根据分步乘法计数原理．

共有C1C1C14·5·7＝140种取法．

设甲型电视机中有a、b两台电视机，乙型电视机中有A、B两台电视机，根据上述选法，其中有一种取法可以是“先选a，再选A，再选b”，另外一种取法是“先选b，再选A，再选a”．而很明显，上述两种取法是同一种结果，出现重复，究其原因是本题使用的是分步乘法计数原理．而分步必然有先有后，也就有顺序，跟排列有关．本题中无论是取两台甲型电视机还是乙型电视机，对于这两台电视机而言，没有先后顺序的差别，即与顺序无关，是组合问题．

[正解]根据结果分类：

1第一类，两台甲型机，有C2C5＝30；

4·2第二类，两台乙型机，有C1C5＝40. 4·112根据分类加法计数原理，共有C2C5＋C4·C5＝70. 4·

区分排列、组合问题的关键点：排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．