3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优秀教案说课稿

3．2

复数代数形式的四则运算

3．2.1

复数代数形式的加减运算及其几何意义

[学习目标]

1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．

[知识链接]

在小学我们学习过实数的加减运算，上一节我们把实数系扩充到了复数系．那么，复数如何进行加减运算？两个复数的和差是个什么数，它的值唯一确定吗？复数加减法的几何意义是什么？这就是本节我们要研究的问题．

[预习导引]

1．复数加法与减法的运算法则

(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. (2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

2.复数加减法的几何意义

→→→如图，设复数z1，z2对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量OZ与复→数z1＋z2对应，向量Z2Z1与复数z1－z2对应．

要点一

复数加减法的运算

例1

(1)计算(2＋4i)＋(3－4i)；

(2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)．

解

(1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5. (2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.

规律方法

复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．

跟踪演练1

计算：

(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；

(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．

解

(1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i. (2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i) ＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i. 要点二

复数加减法的几何意义

例2

复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

解

设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．

→→→则AD＝OD－OA＝(x，y)－(1,2) ＝(x－1，y－2)．

→→→BC＝OC－OB＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．

→→∵AD＝BC，

x－1＝1x＝2∴，解得，

y－2＝－3y＝－1

故点D对应的复数为2－i. 规律方法

复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．

跟踪演练2

如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.

→求：(1)AO表示的复数；

→(2)对角线CA表示的复数；

→(3)对角线OB表示的复数．

→→→解

(1)因为AO＝－OA，所以AO表示的复数为－3－2i. →→→→(2)因为CA＝OA－OC，所以对角线CA表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. →→→→(3)因为对角线OB＝OA＋OC，所以对角线OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 要点三

复数加减法的综合应用

例3

已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 解

方法一

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，

∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①

(a－c)2＋(b－d)2＝1②

由①②得2ac＋2bd＝1，

∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2

＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝3. 方法二

设O为坐标原点，

z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，

∴△OAB是边长为1的正三角形，

∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，

且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，

→∴|z1＋z2|＝|OC| ＝OAAC2OAACcos120＝3. 22规律方法

(1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．

(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．

跟踪演练3

例3中，若条件变成|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2.求|z1－z2|. 解

由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝2.

1．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于(

)

A．0

B．2i C．6

D．6－2i 答案

D 解析

z＝3－i－(i－3)＝6－2i. 2．复数i＋i2在复平面内表示的点在(

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

答案

B 解析

i＋i2＝－1＋i，对应的点在第二象限．

→→→→3．在复平面内，O是原点，OA，OC，AB表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则BC表示的复数为(

) A．2＋8i

B．－6－6i C．4－4i

D．－4＋2i 答案

C →→→→→→解析

BC＝OC－OB＝OC－(AB＋OA)＝(4，－4)．

→∴BC表示的复数为4－4i. 4．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在(

) A．实轴上

B．虚轴上

C．第一象限

D．第二象限

答案

B 解析

∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．

5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________. 答案

－1 2a－a－2＝0，解析

z1－z2＝(a－a－2)＋(a－4＋a－2)i(a∈R)为纯虚数，∴2解得a＝－1. a＋a－6≠0，22

1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．

2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．

一、基础达标

111．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于(

) 2235A．0

B.＋i 225553C.－i

D.－i 2222答案

C 11552＋－＋2i＝－i. 解析

z1＋z2＝22222．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(

) A．1＋i

B．1＋3i C．－1－i

D．－1－3i 答案

B 解析

z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i. 3．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于(

) A．2

B．2＋2i C．4＋2i

D．4－2i 答案

C 4．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(

) A．1＋i

B．2＋i C．3

D．－2－i 答案

D 2＋a＝0a＝－2解析

由，得，∴a＋bi＝－2－i. b＋1＝0b＝－1

5．若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝________. 答案

4＋i 解析

两式相加得2z1＝8＋2i，∴z1＝4＋i. 6．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．

答案

1 解析

由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离．∴|z－1|min＝1. 7．计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；

1143＋i＋(2－i)－－i. (2)3232(3)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.

解

(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i) ＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i ＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i. 1143＋i＋(2－i)－－i

(2)32321143＝＋i＋2－i－＋i 32321413＋2－＋－1＋i＝1＋i. ＝3223(3)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，

z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i. 二、能力提升

8．如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是(

) A．1

B.2 C．2

D.5 答案

A 解析

设复数－2i,2i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋2i|＋|z－2i|＝4，Z1Z2＝4，所以复数z的几何意义为线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求ZZ3的最小值．

因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，Z0Z3＝1.故选A. 9．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD，→则|BD|等于(

) A．5

B.13

C.15

D.17 答案

B 32，，

解析

如图，设D(x，y)，F为▱ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为2

x＋1＝4，x＝3，所以，即

y＋0＝3y＝3.

所以点D对应的复数为z＝3＋3i，

→→→所以BD＝OD－OB＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)，

→所以|BD|＝13. 10．如果一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是________．

答案

11＋3i 5解析

设这个复数为x＋yi(x，y∈R) ∴x＋yi＋x2＋y2＝5＋3i，

11x＝5x＋x2＋y2＝5∴，∴

y＝3y＝3，

11∴x＋yi＝＋3i. 5→11．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量BA对应的复数是1＋2i，向量→BC对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．

→→→解

∵AC＝BC－BA，

→∴AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，

设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i，

∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，

故x＝4，y＝－2. ∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．

12．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．

解

方法一

设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，

则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．

3xy－1，2，BD中点为，∴AC中点为222. ∵平行四边形对角线互相平分，

∴y－12＝23x＝22

x＝3，∴.即点D对应的复数为3＋5i. y＝5

方法二

设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．

→则AD对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i) →＝(x－1)＋(y－3)i，又BC对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，

→→由于AD＝BC.∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i. x－1＝2x＝3∴，∴.即点D对应的复数为3＋5i. y－3＝2y＝5

三、探究与创新

13．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N. (1)指出集合P在复平面上所表示的图形；

(2)求集合P中复数模的最大值和最小值．

解

(1)由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图所示．

(2)圆的方程为x2＋y2－2x＝0，直线l的方程为y＝x－1. x2＋y2－2x＝0，解得

y＝x－1

2＋22－222A(，)，B(，－)．

2222∴OA＝2＋2，OB＝2－2. ∵点O到直线l的距离为22，且过O向l作垂线，垂足在线段BE上，∴<2－2. 222. 2∴集合P中复数模的最大值为2＋2，最小值为