2.3.2 圆的一般方程课堂实录【3】

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4.1.2 圆的一般方程

（一）教学目标1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.（三）教学过程教学教学内容

环节

问题：求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程.课题些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的引入

局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程. 概念请同学们写出圆的标准方程：(x

–

a)2 + 师生互动

设计意图

利用圆的标准方程解决此问题显然有设疑激趣让学生带着问题进行思考

导入课题. 整个探索过程由学生通过www.91taoke.com

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形成与深化

(y –

b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.完成，教师只做引导，得学生对圆的一般方程的探究，把圆的标准方程展开，并整理：x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.出圆的一般方程后再启发学生归纳.取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2

–

r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①这个方程是圆的方程.圆的一般方程的特点：使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey

样的二次项.+ F = 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，次方程表因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？示圆所满足的条件. （1）当D2 + E2

– 4F＞0时，方程②表示以为圆心，（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，为半径的圆；圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显. （2）当D2 + E2

– 4F = 0时，方程只有实数解；，即只表示一个点（3）当D2 + E2

– 4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D2 + E2

– 4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2 + y2 + Dx + Ey + F

= 0的表示圆的方程称为圆的一般方程. 例1

判断下列二元二次方程是否表示应用圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半举例

径.学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形

通过例题讲解使学生理www.91taoke.com

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（1）4x2 + 4y2

– 4x + 12y + 9 = 0式.②运用圆的一般方程解圆的一般方程的（2）4x2 + 4y2

– 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为x2 + y2

–

x + 3y += 0的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x2 + 4y2

– 4x

代数特征+ 12y + 9 = 0来说，这里的D = –1，E = 3，而及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及D = –1，E =3，F =.∵D2 + E2

– 4F = 1＞0不是D = –4，E = 12，F = 9. ），半径r

∴此方程表示圆，圆心（，=.（2）将原方程化为x + y–

x + 3y +D = –1，E =3，F =∴此方程不表示圆. 22 分析解决= 0问题的能.D2 + E2

– 4F = –1＜0力. 例2 求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.例2 讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：

1．根据题设，选择标准方程或一般方程. 2．根据条件列出关于分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2 + y2 + Dx

a、b、r或D、E、F的方+ Ey + F = 0程组；

3．解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程. ∵A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：即解此方程组，可得：D= –8，E=6，F = 0www.91taoke.com

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∴所求圆的方程为：x2 + y2

– 8x + 6y = 0；.得圆心坐标为(4，–3).或将x2 + y2

– 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x

– 4)2 + (y

+ 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3).例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上(x + 1)2 + y2 = 4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)由于点B的坐标是(4，3)且M是线段AB中重点，所以

教师和学生一起分析，①

解题思路，再由教师板书. 于是有x0 = 2x

– 4，y0 = 2y

– 3 因为点A在圆(x + 1)2 + y2 = 4上运动，所以点A的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4，即

(x0 + 1)2 + y02 = 4

②

把①代入②，得

(2x

– 4 + 1)2 + (2y

– 3)2 = 4，

整理得所以，点M的轨迹是以半径长为1的圆.

分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4.建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求为圆心，出点M的轨迹方程.

课堂练习：课堂练习P130第1、2、3题. www.91taoke.com

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1．圆的一般方程的特征

2．与标准方程的互化

3．用待定系数法求圆的方程

归纳4．求与圆有关的点的轨迹

总结

教师和学生共同总结

让学生更进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程. 课后布置作业：见习案4.1的第二课时

作业

学生独立完成

巩固深化

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