一 比较法评课稿

课 题：

第01课时 不等式的证明方法之一：比较法

教学目标

1、掌握比较法证明不等式的基本原理；掌握比较法证明不等式的一般步骤，要求学生能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

2、

培养学生进行逻辑推理的思维与论证过程；训练学生树立何时、如何进行分类讨论的数学思想。

教学重点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

教学难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式，及常用解题技巧。

教学过程

一、复习引入

1．作差比较法的依据：（实数的运算性质）

abab0

abab0

abab0

因而要证明ab最基本的方法就是证明ab0，即把不等式两边相减，转化为比较差与0的大小。从而得到作差比较法的一般步骤：

作差变形（化简）定号（差值的符号）得出结论。

2、作商比较法的原理及步骤：

aaa1；a=b=1；ab1. bbba因而当a,bR*，要证明ab，则只需证明1，即把不等式两边相除，转化为比较商与1的大小。ba,bR*，则ab从而得到作商比较法的一般步骤：

作商变形（化简）判断（商值与实数1的大小关系）得出结论。

二、预习检测

1、求证：x33x. 2332证明：因为x33xx0

24所以

x33x

2、已知0a3，试比较a与3的大小. aa22aaaaaa30，又a()a，因为0a3，所以01，所以()a()01，即aa3a

解：显然a、33333aa

总结：这种方法就称之为作差比较法，其步骤为：作差变形判断结论

三、课内探究

3322例1、已知a,b都是正数，且ab，求证：ababab. 证明：a3b3(a2bab2)a3a2b(ab2b3)a2(ab)b2(ab)(a2b2)(ab)

(ab)2(a+b)

因为a,b都是正数，所以ab0，又因为ab，所以(ab)20. 于是(ab)2(a+b)0，即a3b3(a2bab2)0

所以

ababab.

练习1、已知a,b,m都是正数，且ab，求证：证明：3322ama. bmbamamba，

bmbbbmmbaama0. 因为a,b,m都是正数，且ab，所以bm0，ba0，从而0，即bmbbbm所以

ama

bmb说明：这个不等式我们通常形象的称之为“糖水模型”。

总结：作差比较法证明不等式的步骤为：作差变形判断结论。常用的变形方法有：配方法、通分法、因式分解法，有时把差变形为常数或变形为常数与几个数的平方和的形式或变形为几个式积的形式，总之变形到可判断符号为止。

abba例2、已知a,b都是正数，求证：abab，当且仅当ab时，等号成立。

aabbaabba证明：将不等式两边相除，得ba=ab=abbaa不妨设ab0，于是1，ab0，从而bb所以

abab.

练习2、已知a,b,c都是正数，求证：abababab2abbaab. ab1，当且仅当ab时，等号成立，

总结：作商比较法是将问题转化为商与1的关系，故变形时要注意：

1、作商通常是用来比较两个同号数（常为正数）的大小，因而需要先确定两数的符号；

2、作商变形后，比较与1的大小时，要注意1的几种情形，如1alogaa数函数和对数函数的单调性作出判断。

0a等形式，以利于利用指a

四、拓展提升

例4、已知0x1，a0，a1，试比较loga(1x)与loga(1+x)的大小，并说明理由。

证明一：由0x1可得：01x1，01+x1。

（1）当a1时，loga(1x)0，loga(1+x)0，

所以loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)loga(1x)=loga(1x2)

2因为0x1，所以01x1，从而loga(1x2)0，即loga(1x2)0，

所以loga(1x)loga(1+x)

（2）当0a1时，同理可证loga(1x)loga(1+x)。

综上可知：当0x1，

a0，a1时，

loga(1x)loga(1+x)成立。

证明二：loga(1x)loga(1+x)=1lg(1x)lg(1+x)=lg(1x)lg(1x)，

lgalgalga由0x1，可得01x1，11x2，所以lg(1x)0，lg(1x)0

=11lg(1x2)，

lg(1x)lg(1x)=lgalga1lg(1x2)0，

lga2由0x1，可得01x1，从而lg(1x2)0，即所以：当0x1，

a0，a1时，

loga(1x)loga(1+x)成立。

证明三：loga(1x)loga(1+x)=log(1x)(1x)

由0x1，可得01x1，11x2，所以log(1x)(1x)0，

从而log(1x)(1x)=log(1x)(1x)=log(1x)1，

1x111x2(1x)，从而log(1x)log(1x)(1x)1

(1x)0，即又1x1x1x1x即loga(1x)loga(1+x)1，从而当0x1，

a0，a1时，

loga(1x)loga(1+x)成立。

五、课堂小结：

1、作差比较法的依据：（实数的运算性质）

abab0

abab0

abab0

作商比较法的原理：

a,bR*，则abaaa1；a=b=1；ab1. bbb2、利用比较法证明不等式的基本步骤：

作差法：作差变形（化简）定号（差值的符号）得出结论。而变形常用配方、通分、因式分解. 作商法：作商变形（化简）判断（商值与实数1的大小关系）得出结论。对商的变形常有约分化简、合并等。

3、一般情况下，多项式比较常用作差法，而积商幂的形式常用作商法。

六、课外作业

1、已知ab，求证：a3b3ab(ab)；

222、已知adbc，求证：abc2d2acbd；

23、已知ab，求证：a46a2b2b44ab(a2b2)；