2.基本不等式教学设计一等奖

2.基本不等式

【教学目标】

1．知识与技能：学会推导并掌握重要不等式、基本不等式，理解基本不等式的几何、代数解释，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题。

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式；

【教学难点】

基本不等式等号成立条件及其应用。

【教学过程】

一、课题导入

基本不等式abab的几何背景：

2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

二、讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：ab2ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有2222a2b22ab。

2．得到结论：

定理1（重要不等式）如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取""号)

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为

ab2ab(ab)

当

ab时,(ab)0,当ab时,(ab)0,

所以，(ab)0，即(ab)2ab.

2222222222A H a I K b D G F b B J a C b E

S矩形BCGH+ S矩形JCDI=2ab S正方形ABCD+ S正方形CEFG=a2+b2 4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式abab

2特别的，如果a>0,b>0,我们用a,b分别代替a、b

，可得ab2ab，

通常我们把上式写作：

ab(a>0,b>0)，当且仅当a=b等号成立。

2ab

2）从不等式的性质推导基本不等式ab

2定理2（基本不等式）ab用分析法证明：

要证

abab

(1) 22只要证

a+b

(2) 要证（2），只要证

a+b-

0

（3）

要证（3），只要证

（

-

）

（4）

显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

3）理解基本不等式abab的代数、几何解释

25．探究：基本不等式的代数、几何解释：

代数解释：

1.如果把ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定2ab为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数。基本定理2理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 几何解释：

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. 这个圆的半径为ab的几何解释吗？

2ab，显然，它大于或等于CD，即2abab，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 2ab因此：基本不等式ab几何解释是“半径不小于半弦”，

或者称为直角三角形斜边2上的中线不小于斜边上的高。

6.基本不等式的应用：

111例1

已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9. abc例2求证：

（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；

（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。

归纳：

＋1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M为定值，M2则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立. 42.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，等号当且仅当a＝b时成立. 例3某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域。计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为每平方米80元。

(1)设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式；

(2)当x为何值时，S最小？并求出这个最小值。

＋H D A Q G P C B M E N F

【课堂小结】

本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（几何平均数（ab）及它们的关系（ab），2ab≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、2b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具。

【布置作业】

课本第10页习题的第5、6、7题

【板书设计】

2.基本不等式

1.重要不等式

2.基本不等式

4.基本不等式的应用

例1 例2 例3 3.基本不等式的代数、几何解释