二 一般形式的柯西不等式课件配套优秀教案案例

二维形式的柯西不等式教学设计

一、设计思想

本节乃至本讲的编写意图不是仅仅介绍经典不等式及其证明方法，而是更希望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题. 二、教材分析

二维形式的柯西不等式是人教A版教材选修4-5第三讲第一节的内容，是学生继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用，一方面巩固了前面证明不等式及求最值的基本方法，另一方面与后面学习的一般形式的柯西不等式有着相通的研究方法，是从特殊到一般的研究过程.本节教学的核心是二维形式的柯西不等式、几何意义以及它的简单应用.

三、学情分析 学生不仅掌握了不等式的基本证明方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理能力，学生对柯西不等式的向量形式也有了一定的认识，这是学生知识的“最近发展区”.另外授课班级是高二年级（14）班，学生基础较好，学习积极性较高. 四、教学目标 1、知识与技能目标

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认识二维柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；能用二维柯西不等式解决简单的证明问题及求最值问题. 2、过程与方法目标

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通过创设情境提出问题，然后探索解决问题的方法，培养学生独立思考能力和逻辑推理能力及数形结合能力. 3、情感态度与价值观

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体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过恰当变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关系，并简单介绍法国数学家柯西，渗透数学史和数学文化. 五、教学重点、难点

重点：认识二维形式的柯西不等式的几种形式；运用柯西不等式分析解决一些简单问题. 难点：证明二维柯西不等式及三角不等式，并能利用二维柯西不等式解决问题. 六、教学过程

（一）创设情境：

有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，人们称它们为经典不等式，如均值不等式.本章，我们来学习数学上两个有名的经典不等式：柯西不等式与排序不等式，知道它的意义、背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养. 探究：ab2ab（a,b为实数）是我们熟悉的不等式，它反映了两个实数的平方和与乘积的大小关系.现在考虑乘积(a2b2)(c2d2)（a,b,c,d为实数），它涉及到4个实数，并且形式上也与平方和有关.你能类比ab2ab的推导过程，研究一下关于它的不等关系吗？

（二）新课讲授

1. 定理1(二维形式的柯西不等式)：若a,b,c,d为实数, 则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立. 思考：你能简明地写出这个定理的证明吗？

证法一：（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2

(acbd)2(adbc)2(acbd)2.

证法二：（向量法）设向量m(a,b)，n(c,d)，则|m|a2b2，

|n|c2d2. ∵

mnacbd，且mn|m||n|cosm,n，则|mn||m||n|.

∴a2b2c2d2acbd

证法三：（函数法）设f(x)(a2b2)x22(acbd)xc2d2，则

2222f(x)(axc)2(bxd)2≥0恒成立. 22222∴

[2(acbd)]24(a2b2)(c2d2)≤0，即(ab)(cd)(acbd)

讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？

2222⑴若a,b,c,d都是实数, 则(ab)(cd)≥acbd.当且仅当adbc时，等号成立. 2222⑵若a,b,c,d都是实数, 则(ab)(cd)≥acbd.当且仅当adbc时，等号成

立. 2. 定理2（柯西不等式的向量形式）：设,是两个向量，则||||||，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立. 3. 定理3（二维形式的三角不等式）：设x1,y1,x2,y2R，则

x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2. （三）应用举例：

例1：已知a,b为实数，求证(ab)(ab)(ab). 分析：虽然可以作乘法展开上式的两边，然后再比较它们的大小，但是如果注意到这个不等式的形式与柯西不等式的一致性，就可以避免繁杂的计算. 证明：根据柯西不等式，有

4422332(a4b4)(a2b2)(a2ab2b)2(a3b3)2. 例2：求函数y5x1102x的最大值. 分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为acbd的形式就能利用柯西不等式求（|acbd|a2b2c2d2其最大值. 解：函数的定义域为[1，5]，且y0

y5x125x

52(2)2(x1)2(5x)2

27463当且仅当2x155x时，等号成立，即x114. ab127时，函数取最大值63. 27例3: 设a,b是正实数，ab1，求证分析：注意到111111(ab)()，有了(ab)()就可以用柯西不等式了. ababab证明：1111112(ab)()(ab)4

ababab2442222（四）巩固练习：

1. 证明: (xy)(ab)(axby).

2. 求函数y3x546x的最大值. 3. 已知x2y1，求x2+y2的最小值.

4. 若x,yR，xy2，求证：（五）课堂小结：

本节学习了二维形式的柯西不等式的几种形式，并运用柯西不等式分析解决了一些简单问题. 柯西不等式是一个经典不等式，是一个重要的数学结论，在以后的证明某些不等式时有重112. xy要作用. 七、作业

课本36页3、4、5、7、9题