特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值教学设计及课堂实录

八年级数学（下）第19章《19.1.2函数的图象》教学设计

中阳县第四中学校 白金应

教学内容;19.1.2《函数的图象》第一课时

教学目标: (一)知识与技能目标：

1.使学生掌握用描点法画实际问题的函数图象； 2.使学生能从图形中分析变量的相互关系，寻找对应的现实情境，预测变化趋势等问题．

（二）过程与方法目标； 1、提高识图能力、分析函数图象信息能力．

2、体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力．

（三）情感、态度与价值观目标：

1．体会数学方法的多样性，提高学习兴趣．

2．认识数学在解决问题中的重要作用从而加深对数学的认识。

教学重点；1．函数图象的画法．

2．观察分析图象信息。

教学难点：分析概括图象中的信息。

教学方法：自主─探究、归纳─总结，启发式教学

教学准备：多媒体课件ppt，教学用直尺、三角板等。

目标达成设计

在教学当中设计多个学生自己思考的过程，给学生发表见解的机会，把课堂的大部分时间还给学生，教师做一个引导的作用；让学生多思考，自己动手得到结论，让他们的印象更加深刻，在理解的基础上熟练掌握并运用结论。让学生观察几组特殊函数图象的特点和函数表达式之间关系归纳总结出函数图象的一般规律。加深对图象表示的理解，进一步体会数形结合以及从特殊到一般的数学思想。

教学过程：

Ⅰ．提出问题，创设情境

我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立．但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映．例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系．

即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰．

我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息．

【板书】第十九章

一次函数 19.1 函数 19.1.2函数的图象

Ⅱ．导入新课，学绘图像

我们先来看这样一个问题：

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正方形的边长x与面积Ｓ的函数关系是什么？其中自变量x的取值范围是什么？计算并填写下表：

x S 0．5 1

1．5 2

2．5 3

3．5

[生]函数关系式为S=x2，因为x代表正方形的边长，所以自变量x>0，将每个x的值代入函数式即可求出对应的Ｓ值．

[师]好！那么，想一想：自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否能确定一个点（x，S）呢？（引导）如果我们在直角坐标系中，将你所填表格中的自变量x及对应的函数值S当作一个点的横坐标与纵坐标，即可在坐标系中得到如（x,S）一些点．

[师]大家思考一下，表示x与Ｓ的对应关系的点有多少个？如果全能在坐标中画出的话是什么样子？可以讨论一下，然后发表你们的看法，建议大家不妨动手画画看．

[生]尝试动手画图

（1）列表：（计算并填写表格）；

（2）描点：（建立直角坐标系，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）

（3）连线：（按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来）

[师]很好！这样我们就得到了一幅表示Ｓ与x关系的图．图中每个点都代表x的值与Ｓ的值的一种对应关系．如点（2，4）表示x＝2时Ｓ＝4．

[师]想一想：这条曲线包括原点吗？应该怎样表示？

[生]不包括原点，正方形的边长不能为0。用空心圈表示不在曲线上的点。

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）．上图中的曲线即为函数Ｓ＝x2（x>0）的图象．

[师]根据我们画图的过程可知画图的步骤如下：

（板书）画函数图象的要点是：（1）列表；（2）描点；（3）连线。

函数图象可以数形结合地研究函数，给我们带来便利．

III 自主识图，探究归纳

[活动一]

活动内容设计：

下图是自动测温仪记录的图象，•它反映了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？

如有条件，你可以用带有温度探头的计算机（器），测试、记录温度和绘制表示温度变化的图象．

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活动设计意图：

1．通过图象进一步认识函数意义．

2．体会图象的直观性、优越性．

3．提高对图象的分析能力、认识水平．

4．掌握函数变化规律．

教师活动：

引导学生从两个变量的对应关系上认识函数，体会函数意义；可以指导学生找出一天内最高、最低气温及时间；在某些时间段的变化趋势；认识图象的直观性及优缺点；总结变化规律……．

学生活动：

在教师引导下，积极探寻，合作探究，归纳总结．

活动结论：

1．一天中每时刻t都有唯一的气温Ｔ与之对应．可以认为，气温Ｔ是时间t的函数．

2．这天中凌晨4时气温最低为-3℃，14时气温最高为8℃．

3．从0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的增加而下降．从4时至14•时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态．

4．我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少．

5．如果长期观察这样的气温图象，我们就能得到更多信息，掌握更多气温变化规律．

[活动二] 活动内容设计：

例2 下图反映的是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．

根据图象回答下列问题：

（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？

（2）小明在食堂吃早餐用了多少时间？

（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？

（4）小明读报用了多长时间？

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（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？

设计意图：

1．进一步提高识图能力．

2．按要求从图象中挖掘所需信息，并自理信息．

教师活动：

引导学生分析图象、寻找图象信息，特别是图象中有两段平行于x•轴的线段的意义．

学生活动：

在教师引导下，积极思考、大胆参与、探求答案．

活动结论：

（1）由纵坐标看出，食堂离小明家0.6Km；由横坐标看出，小明从家到食堂用了8min. （2）由横坐标看出，25-8=17，小明吃早餐用了 17min. （3）由纵坐标看出，0.8-0.6=0.2，食堂离图书馆0.2Km；由横坐标看出，28-25=3，小明从家到图书馆用了3min. （4）由横坐标看出，58-28=30，小明读报用了30min. （5）由纵坐标看出，图书馆离小明家0.8Km；由横坐标看出，68-58=10，小明从图书馆回家用了10min，由此算出平均速度是0.08Km/min. IV 课堂小结，实践应用

（一）交流反思

[师]我们通过两个活动已学会了如何观察分析图象信息，那么已知函数关系式，怎样快速地画出函数图象呢？我们可通过再画一、两个函数的图像并进一步归纳总结出描点法画函数图像的一般步骤，请看下面的例子

例3：在下列式子中，对于x的每个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数．请画出这些函数的图象．

（1）y=x+0．5； （２）y=解：（1）y=x+0．5 从上式可看出，x取任意实数式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数．

从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值．列表如下：

x

y …

…

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2 2.5 3 …

-0.5 0.5 3.5 …

6（x>0）

x根据表中数值描点（x，y），并用光滑曲线连结这些点．

从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y=x+0．5随之增大．

同理，让学生们自行完成（2）

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[师]我们来总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤，好吗？

[生]由以上例题可以知道：描点法画函数图象的一般步骤

第一步：列表（在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格）．

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中各组数值对应各点）．

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连结起来）．

描出的点越多，图象越精确．有时不能把所有的点都描出，就用光滑的曲线连结画出的点，从而得到函数的近似的图象．

（二）合作提升

下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家。其中x表示时间，y表示小明离他家的距离，小明家、菜地、玉米地在同一条直线上。

根据图象回答下列问题：

１、菜地离小明家多远？小明从家到菜地用了多少时间？

２、小明给菜地浇水用了多少时间？

３菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？

４、小明给玉米地锄草用了多少时间？

５、玉米地离小明家多远？小明从玉米地回家的平均速度是多少？

解;1．由纵坐标看出，菜地离小明家1．1千米；由横坐标看出，•小明走到菜地用了15分钟．

2．由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地浇水用了10分钟．

3．由纵坐标看出，菜地离玉米地0．9千米．由横坐标看出，小明从菜地到玉米地用了12分钟．

4．由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了18分钟．

5．由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米．由横坐标看出，•小明从玉米地走回家用了25分钟．所以平均速度为：2÷25=0．08（千米／分钟）．

小结;本节通过两个活动，学会了分析图象信息，解答有关问题．通过例题学会了用描点法画出函数图象，这样我们又一次利用了数形结合的思想．

V 拓展延伸，检测反馈

1、小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家。下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系。请你由图具体说明小明散步的情况。

【师】方法点拨：做图象信息题要同时考虑两个量的变化过程以及对应关系，不要单纯地只考虑

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其中一个量。观察图象时要顺着图象同时去观察自变量(时间)和函数(路程)的变化,再去理解实际意义。

答案提示：从图中可发现函数图象分成四段，因此说明小明散步的情况应分成四个阶段。

线段OA：O点的坐标是(0,0)，因此O点表示小明这时从家里出发，然后随着x值的增大，y值也逐渐增大（散步所用时间越长，离家的距离越大），最后到达A点，A点的坐标是(3,250)，说明小明走了约3分钟到达离家250米处的一个阅报栏。

线段AB：观察这一段图象可发现x值在增大而y值保持不变（小明这段时间离家的距离没有改变），B点横坐标是8，说明小明在阅报栏前看了5分钟报。

线段BC：观察这一段图象可发现随着x值的增大，y值又逐渐增大，最后到达C点，C点的坐标是(10,450)，说明小明看了5分钟报后，又向前走了2分钟，到达离家450米处。

线段CD：观察这一段图象可发现随着x值的增大，而y值逐渐减小（10分钟后散步所用时间越长，离家的距离越小），说明小明在返回，最后到达D点，D点的纵坐标是0，表示小明已到家．这一段图象说明从离家250米处返回到家小明走了6分钟。

解答：小明先走了约3分钟，到达离家250米处的一个阅报栏前看了5分钟报，又向前走了2分钟，到达离家450米处返回，走了6分钟到家。

2、小芳今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分；再用10分赶到离家1 000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程的是（ ）． 1500 y/米

1000 500 O 10 20 30 40 A．

1500 1000 500 y/米

1500 100x/分

y/米

1500 1000 500 x/分

O 10 20 30 40 50 D．

y/米

3、王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时）．

问：图中有一个直角坐标系，它的横轴（x轴）和纵轴（y轴）各表示什么？

答：横轴（x轴）表示两人爬山所用时间，纵轴（y轴）表示两人离开山脚的距离．

问：如图，线段上有一点P，则P的坐标是多少？表示的实际意义是什么？

答：P的坐标是(3,90)．表示小强爬山3分后，离开山脚的距离90米．

我们能否从图象中看出其它信息呢？看上面问题的图，回答下列问题：

(1)小强让爷爷先上多少米？

(2)山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？

分析(1)小强让爷爷先跑的路程，应该看表示爷爷的这条线段．由于从小强开始爬山时计时的，因此这时爷爷爬山所用时间是0，而x轴表示爬山所用时间，得x＝0．可在线段上找到这一点A（如图）．A点对应的函数值y＝60．

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x/分

O 10 20 30 40 B．

x/分

O 10 20 30 40 C

(2)

y轴表示离开山脚的距离，山顶离山脚的距离指的是离开山脚的最大距离，也就是函数值y取最大值．可分别在这两条线段上找到这两点B、C（如图），过B、C两点分别向x轴、y轴作垂线，可发现交y轴于同一点Q（因为两人爬的是同一座山）, Q点的数值就是山顶离山脚的距离，分别交x轴于M、N，M、N点的数值分别是小强和爷爷爬上山顶所用的时间，比较两值的大小就可判断出谁先爬上山顶．

解：(1)小强让爷爷先上60米；

(2)山顶离山脚的距离有300米，小强先爬上山顶．

归纳：在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标意义．如图中的点P(3,90)，这一点表示小强爬山3分后，离开山脚的距离90米．再从图形中分析两变量的相互关系，寻找对应的现实情境．如图中的两条线段都可以看出随着自变量x的逐渐增大，函数值y也随着逐渐增大，再联系现实情境爬山所用时间越长，离开山脚的距离越大，当x达到最大值时，也就是到达山顶．

VI实践应用

开阔视野

18例1 王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数关系式yx2x击球，球正好55进洞．其中，y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离．

(1)试画出高尔夫球飞行的路线；

(2)从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少？球的起点与洞之间的距离是多少？

18分析

(1)高尔夫球飞行的路线，也就是函数yx2x的图象，用描点法画出图象．在列表55时要注意自变量x的取值范围，因为x是球飞出的水平距离，所以x不能取负数．在建立直角坐标系时，横轴（x轴）表示球飞出的水平距离，纵轴（y轴）表示球的飞行高度．

(2)高尔夫球的最大飞行高度就是图象上函数值y取最大值的点，如图点P，点P的纵坐标就是高尔夫球的最大飞行高度；球的起点与球进洞点是球飞出的水平距离最小值的点和最大值的点，如图点O和点A，点O和点A横坐标差的绝对值就是球的起点与洞之间的距离．

解

(1)列表如下：

在直角坐标系中，描点、连线，便可得到这个函数的大致图象．

(2)高尔夫球的最大飞行高度是3.2 m，球的起点与洞之间的距离是8 m．

知识天地

1.画实际问题的图象时，必须先考虑函数自变量的取值范围．有时为了表达的方便，建立直角坐标系时，横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致；

2.在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义．然后观察图形，分析两变量的相互关系，给合题意寻找对应的现实情境．

潜力挖掘

1.下图为世界总人口数的变化图.根据该图回答：

(1)从1830年到1998年，世界总人口数呈怎样的变化趋势？

(2)在图中，显示哪一段时间中世界总人口数变化最快？

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2.一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是(

)．

3.已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm．

(1)写出y与x的函数关系式；

(2)求自变量x的取值范围；

(3)画出这个函数的图象．

4.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里．他离开家后的距离S（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据这个图象回答下列问题：

(1)小李到达离家最远的地方是什么时间？

(2)小李何时第一次休息？

(3)10时到13时，小骑了多少千米？

(4)返回时，小李的平均车速是多少？

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