一 比较法板书设计及意图

一

比较法

[学习目标]

1.理解和掌握比较法证明不等式的理论依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3.通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．

[知识链接]

1．比较法作差后变形的目的是什么？

答案

作差后变形的目的是为了容易判别差的正、负．常用变形方法为：一是配方法，二是分解因式．

2．具有什么特点的不等式的证明适合作商比较法？哪些类型的不等式证明常用作商、哪些常用作差？

答案

当不等式两端的式子同号时，可用作商比较法．一般地，证指数不等式常用作商法，证对数不等式时，常用作差法．

[预习导引]

1．作差法

由a＞b⇔a－b＞0，要证a＞b，只需要证a－b＞0；要证a＜b，只需证a－b＜0. 2．作商法

aa如果a、b都是正数，要证a＞b，只需证＞1；如果a、b都是负数，要证a＞b，只需证＜bb1.

要点一

两个代数式大小的比较

例1

已知x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)·(x＋y)的大小．

解

(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．

∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，

∴－2xy(x－y)＞0，

∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．

a规律方法

实数大小的比较常用a＞b⇔a－b＞0或＞1，且b＞0⇔a＞b来解决，比较法的b关键是第二步的变形，一般来说，变形越彻底，越有利于下一步的符号判断．

跟踪演练1

设a＞0，b＞0且a≠b，试比较aabb与abba的大小．

aa－baabb－－解

ba＝aab·bba＝b. abaa－ba当a＞b＞0时，＞1，a－b＞0，则b＞1，

ba于是aabb＞abba.当b＞a＞0时，0＜＜1，a－b＜0，

baa－babba则＞1，于是ab＞ab. b综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb＞abba. 要点二

作差比较法证明不等式

a21b2111例2

设a＞0，b＞0，求证b＋a≥a＋b. 2222证明

方法一

左边－右边

a3＋b3＝－(a＋b) aba＋ba－ab＋b－aba＋b＝

aba＋ba－2ab＋ba＋ba－b2＝＝≥0. abab∴原不等式成立．

方法二

左边＞0，右边＞0. 左边a＋ba－ab＋ba－ab＋b2ab－ab＝＝≥＝1，

右边aba＋babab∴原不等式成立．

规律方法

用比较法证不等式，一般要经历作差(或作商)、变形、判断三个步骤，变形的主要手段是通分、因式分解或配方，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩．

跟踪演练2

设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 证明

3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) ＝3a2(a－b)＋2b2(b－a) ＝(3a2－2b2)(a－b)．

因为a≥b＞0，所以a－b≥0,3a2－2b2＞0，

从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，

即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 要点三

作商比较法证明不等式

例3

已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a. 证明

∵a＞2，∴a－1＞1，

∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0，

logaa－1由于＝loga(a－1)·loga(a＋1) loga＋1alogaa－1＋logaa＋12logaa2－12＜22＝. ∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2，

logaa2－12logaa22∴2＜2＝1，

logaa－1即＜1. loga＋1a∴loga(a－1)＜log(a＋1)a. 规律方法

作商后通常利用不等式的性质、指数函数的性质、对数函数的性质来判断商式与1的大小．

1跟踪演练3

已知a＞b＞c＞0，求证：aabbcc＞(abc)(a＋b＋c)．

3abc2a－b－c2b－a－c2c－a－babc证明

∵＝abc

1333abca＋b＋c3a－ba－cb－ab－cc－ac－b＝a＋·b＋·c＋

333333aa－baa－cbb－c＝b3c3c3. aa－ba∵a＞b＞0，∴a－b＞0，＞1，∴b3＞1. baa－cbb－c＞1，

同理可证＞1，c3c31∴aabbcc＞(abc)(a＋b＋c). 3

1．在下列命题中，其中真命题为(

) aaa①当b＞0时，a＞b⇔＞1；②当b＞0时，a＜b⇔＜1；③当a＞0，b＞0时，＞1⇔a＞b；bbba④当ab＞0时，＞1⇔a＞b. bA．①②③

B．①②④

C．④

D．①②③④

答案

A 12．“a＞1”是“＜1”的(

) aA．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

A a＞1，1解析

1⇒＜1. aa＞01而a＜0时，显然＜1，但是推不出a＞1，故选A. aaa＋ca＋2cc3．已知a，b，c，d都是正数，且bc＞ad，则，，，中最大的是(

) bb＋db＋2dda＋caA.

B.

bb＋da＋2ccC.

D.

db＋2d

答案

D 解析

∵a，b，c，d均为正数，且bc＞ad，

∴不妨设a＝c＝d＝1，b＝2，

a1a＋c2a＋2c3cc则＝，＝，＝，＝1，则最大．

b2b＋d3b＋2d4dd4．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，且ab≠1，a≠－2.则P、Q的大小关系是________．

答案

P＞Q

解析

因P－Q＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a

＝(a2b2－2ab＋1)＋(a2＋4a＋4) ＝(ab－1)2＋(a＋2)2. 又因ab≠1，a≠－2，所以P－Q＞0.

1.作差比较法证明不等式的一段步骤：(1)作差；(2)变形；(3)判断符号；(4)结论．若差式的等号不能确定，与某些字母的取值有关时，需对这些字母进行讨论．

aa2．作商比较法的前提条件是两个数a，b都大于0，对进行整理，直到能清晰看出与1的bb大小关系为止，在运算过程中注意运用计算技巧.