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统计案例复习题教案

薛磊

一，[核心知识提炼] 提炼1 变量的相关性

(1)正相关：在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域．

(2)负相关：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域．

(3)相关系数r：当r>0时，两变量正相关；当r<0时，两变量负相关；当|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越高，当|r|≤1且|r|越接近于0，相关程度越低．

提炼2 线性回归方程

方程＝x＋称为线性回归方程，其中＝，＝－.回归直线恒过样本中心(，)．

提炼3 独立性检验

(1)确定分类变量，获取样本频数，得到2×2列联表．

(2)求观测值：k＝. (3)根据临界值表，作出正确判断．如果k≥kα，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”．

二，复习题一

独立性检验

1．【典例】(2017·洛阳模拟)某学生对其亲属30人的饮

食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示30 人的饮食指数.(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食

以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主.)

图8-1 (1)根据以上数据完成下列2×2列联表.

1

(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关?并写出简要分析. 附:K2= ,n=a+b+c+d. 【解题指南】(1)把握2×2列联表的意义,准确填入数据. (2)将数据代入随机变量K2的计算公式进行计算,与临界值比较并得出结论. 三，复习题二

线性回归方程

【典例】(2016·全国卷Ⅲ)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.

(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明. (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

【解题指南】(1)利用公式求出相关系数r.(2)利用公

式得出 , ,求出线性回归方程加以预测.

【技法点拨】

1.正确理解计算 , 的公式和准确的计算是求线性

回归方程的关键. 2.回归直线方程 = x+ 必过样本点中心( ).

3.在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点图来确定两个变量

2

之间是否具有相关关系,若具有线性相关关系,则可通过线性回归方程来估计和预测.

四，课堂练习

1．(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序

1

2

3

4

5

6

7

8 零件尺寸

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04 抽取次序

9

10

11

12

13

14

15

16 零件尺寸

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

(1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(－3s，＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

(ⅰ)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

(ⅱ)在(－3s，＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产

3

线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01) 附：样本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相关系数r＝

[解] (1)由样本数据得(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相关系数

r＝≈≈－0.18．

2分

由于|r|<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．

4分

(2)(ⅰ)由于＝9.97，s≈0.212，因此由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(－3s，＋3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查．

6分

(ⅱ)剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为

(16×9.97－9.22)＝10.02，

这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．

x≈16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，

剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为

(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，

这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为≈0.09．

2．(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：

12分

8分

10分

4

图8-2 (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；

旧养殖法

新养殖法

箱产量＜50 kg

箱产量≥50 kg

(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．

附：

P(K2≥k0)

k0

K2＝. [解] (1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为

(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A的概率估计值为0.62.

(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

3分

0.050

3.841

0.010

6.635

0.001 10.828

5

旧养殖法

新养殖法

5分

箱产量<50 kg

62

34

箱产量≥50 kg 38 66 K2的观测值k＝≈15.705. 由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

8分

(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．

12分

五，布置作业

1，

在一次抽样调查中测得样本的5组数据，得到一个变量y关于x的回归方程模型，其对应的数值如下表：

x y 0.25

16

0.5

12

1

5

2

2

4 1 (1)试作出散点图，根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝＋m哪一个适宜作为变量y关于x的回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立变量y关于x的回归方程；

(3)根据(2)中所求的变量y关于x的回归方程预测：当x＝3时，对应的y值为多少？(保留四位有效数字)

6