1.3 二项式定理（通用）教学目标

1.3.1

二项式定理(第一课时)

西山一中

郝丽仙

1．教学目的

（1）发现（a＋b）n展开式规律（即二项式定理），并加以说明；经历由特殊到一般的研究过程，培养归纳、概括等推理能力. （2）能用计数原理证明二项式定理；

会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 2．教学重点：用计数原理证明二项式定理的归纳、发现过程.

k3．教学难点：用计数原理解释系数Cn的来历. 4．授课类型：新授课

5．教学方法与辅助手段

启发式、探究发现法

运用多媒体（PPT）辅助教学. （启发学生动手操作，观察、猜想，获得结论；交流、会话，参与说理.）

6．教学过程

问题的提出：

大家都知道（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，那（a＋b）3，（a＋b）4，（a＋b）5等的展开式是怎样的？有规律吗？如果有，那规律是什么？

那你能写出（a＋b）n的展开式吗？

今天，我们就来研究这个问题. 设计意图：做足过程，把握本质.问题是数学的心脏，数学教学应当从问题开始.每一节课都应该有一个需要解决的问题，问题越明确越好，不能欲盖弥彰，让学生不知要做什么. 我们怎么来研究这个问题呢？从简单的特殊的开始。

问题1

写出下列二项式的展开式(由多项式的乘法法则)，并说说特点. （a＋b）2＝______________________；

（a＋b）3＝______________________；

（a＋b）4＝______________________. 设计意图：让学生获得足够地体验。经历展开过程，观察体验展开式的各项是怎样形成的，着重关注展开式的项数、次数、系数。尤其是系数的来历，并用组合符号表示它，参与归纳、概括。

把学生“卷”入到课堂教学中来.我们怎么来研究这个问题呢？“小马过河”，从简单的特殊的开始，参与提出问题，参与探究过程. 过程：（PPT）

观察：2

)

) (

a

+

b

(a+b=

(

a+b)

——

教师，学生

=aa+ab+ba+bb——（合并同类项前，关注每一项产生过程）

=a2+2ab+b2——（项数，次数，系数）

= + + C02a2C12abC22b2

C12C22——只关注b

的选取（或者只关注a）

C02

1

小结：①根据多项式乘法法则，未合并同类项前，关注每一项的产生过程会发现：展开式中的每一项是从两个括号中各取一个字母的乘积；由分步乘法原理易知，展开式共计4项. ②合并同类项之后，各项的项数，次数，系数有何特点？

可发现：展开式项数变为3项；每一项的次数都为2；

各项系数分别为1,2,1，可视为各项在未合并前的展开式中出现的次数.

引导启发：在学习了组合数的基础上，针对以上展开式中每一项的产生过程，我们能否用组合数符号来表示产生的过程？？

当只关注b

的选取时：

20a

两个括号取0个

b

，有

C

种取法;2

1ab

两个括号取1个

b

，有

C2

种取法;

2

b2

两个括号取2个

b

，有

C2

种取法;

学生思考感受、动手尝试，寻找规律，体会展开式中每一项产生的思维过程：（PPT）

(a+b)3

=(a+b) (a+b) (a+b)

=(aa+ab+ba+bb) (a+b)

=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb

a3+3a2b+3ab2+b3

C0a3C1a2bC2ab2C3b33333

332a2babab

1302

CCC3C333

追问：为什么这么表示？你是怎么想的？（意在强化思维过程）

“规律”?有关什么的规律？对于一个多项式，关注什么？

项数、次数、系数（组合符号）

（1）项数：合并前（为什么，计数原理解释）

（2）次数：（最高次数是几，依降幂排列，共几项。）

（3）系数（重点）：怎么来的？

引导：只要关注b（或者关注a）即可.能否用前面学习过的组合符号表示？

问题2

用组合符号表示系数，写出下列二项展开式：

（学生动手，PPT校正答案）

（a＋b）4

2

2)．你能分析说明展开后各项前的系数吗？a4a3b a2b2ab3 b4每个都不取b的情况有1种，即C40,则a4前的系数为C40恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41恰有2个取b的情况有C42种，则a2b2前的系数为C42恰有3个取b的情况有C43种，则ab3前的系数为C43恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44则(a+b)4 ＝C40a4＋C41a3b＋C42a2b2 ＋C43ab3＋C44b4

归纳推理n*能写出（a+b）(nN)的展开式了吗？发现规律：对于(ab)n(ab)(ab)n个(ab)的展开式是从n个括号中各取一个字母的乘积的和；每一项都具有an-kbk（k=0,1,2, … ,n）的形式；其系数是在n个括号中，恰有k个括号中取b(其余括号中取a)的组合数Cnk.

设计意图：进一步熟悉二项展开式的特征，要求逐渐提高，从特殊走向一般. k－问题3

为什么含ankbk项的系数是Cn？其中k怎样取值？

k－设计意图：证明二项式定理——含ankbk的系数是Cn是核心. 对于某个k（k∈{1，2，3，…，n}），对应的项ankbk是由n－k个（a＋b）中选a，k－个（a＋b）中选b得到的.由于b决定后，a的选法也随之确定，因此，ankbk的出现次数相－那么，我们能不能写出(a+b)n的展开式？k当于从n个（a＋b）中选k个b的组合数Cn。

我们得到了公式：

n0n1n12n22(ab)CaCabCbnnna

这个公式就叫做二项式定理.

knkkCnabnnCnbk其中Cn（k＝0，1，…，n）叫做二项式系数；

k－Cnankbk叫做二项展开式的通项，

3

kn－kk第k＋1项

Tk＋1＝Cnab。

二项展开式的特点:①项数：共n＋1项；

②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a、b的指数和为n

问题4

“玩一玩”我们的新公式：

n0n1n12n22knkknn

(ab)CnaCnabCnabCnabCnb

16例2

求(2x-)的展开式

x

解:6解法一1

2xx

10111201C6(2x)6()C6(2x)61()C62(2x)62()

xxx13141535

C6(2x)63()C64(2x)64()C6(2x)65()xxx

161C6(2x)0()x



先化简后展开解法二

612x116

解:(2x)(2x1)63xxx

1133[(2x)6C6(2x)5C62(2x)4C6(2x)3

x

56 C64(2x)2C6(2x)C6]

13(64x6632x51516x4208x3

x

154x262x1)

6012164x3192x2240x16023.

xxx

4

备用：

（1）特殊化；（2）方程式；（3）函数式；（4）几何意义等。

012kn①（1＋1）n＝Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＋…＋Cnbn。

01－2－k－n②（a－b）n＝Cnan－Cnan1b＋Cnan2b2＋…＋（－1）kCnankbk＋…＋Cnbn。

012kn③（1－1）n＝Cn－Cn＋Cn＋…＋（－1）kCn＋…＋Cn。

012kn④（1＋x）n＝Cn＋Cnx＋Cnx2＋…＋Cnx k＋…＋Cnx n。

⑤由（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，得

a3＋b3＝（a＋b）3－3ab（a＋b）。

小结：

（1）什么叫做二项式定理？

（2）掌握这个定理的关键是什么？

作业：(略)

板书设计：

1.3.1 二项式定理（第一课时）

(ab)2a22abb2

例题

(ab)3=?

(ab)4=?

(ab)100=? 0nn12n223n33(ab)ncnac1bcnabcnab......narnrrn1nncnab......cnabn1cnb

练习

注意：1、

小结

2、

作业

5