1.3 二项式定理（通用）教学创新设计

《1.3.1二项式定理》教学设计

教学目标：

知识技能：

1.理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。

2.能运用二项式定理展开某些二项式，利用通项公式求某些特定项。

3.通过探索二项式定理，培养学生观察问题、发现问题的能力及归纳推理的能力。

过程方法：通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，体验从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践的认识事物的过程，形成良好的思维品质。

情感、态度和价值观：

1.通过对二项展开式结构特点的观察，体验数学公式的对称美、和谐美。

2.通过探讨、交流培养学生不断发现，探索新知的精神。

教学重点：二项定理的推导及其展开式的应用。

教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之后各项系数的规律；利用通项公式求某些特定项。

教学方法：启发探究式。

教学过程

一、创设情境，引入课题

问题：(1)今天是星期五，那么7天后的这一天是星期几呢?

(2)如果是15天后的这一天呢？

(3)如果是24天后的这一天呢？

(4)如果是 8100

天后的这一天呢？

因为8=7+1，那么8100=（7+1）10又如何展开呢？更一般的（a+b）10、(a+b)n 如何展开？这将是本节课要研究和学习的问题。

设计意图：给学生创造一个“愤”和“悱”的情境，激发学生的求知欲望。

二、引导探究，发现规律

1.想一想：

(a+b)=

(a+b)=

(a+b)= 思考：上式右边有何特点？研究(a+b)展开式要解决哪些问题？如何解决这些问题？

（1）展开式的项数

（2）展开式中各单项式的形式

(3)展开式中各单项式的系数

学生回顾公式(a+b)、(a+b)，利用多项式乘法求(a+b)的展开式。

设计意图：鼓励学生思考解决问题的方法，培养探究能力。

2.探究：

问题1:

(a+b)的展开式在合并同类项之前共有几项？合并同类项之后共有几项？

如何用计数原理得到(a+b)：

的展开式？

交流：展开式中共有2 ×2 = 22

项，合并同类项后是2+1项。

问题2:

(a+b)展开式中各单项式的次数是多少？这些单项式可以写成什么样的形式？

22 23 4n 2342 (a+b)2展开式中各单项式的次数都ｎ次,项的形式:a22-kkb

(k=0、1、2) 问题3:

如何用组合的知识分析(a+b)展开式中各同类项的个数？

（1）对于(a+b)

：a是从__个（a+b）中取__相乘而得到，相当于从__个（a+b）中取__个b的组合数C__，因此a的系数是C__。

222

ab是从__个（a+b）中取__，__个（a+b）中取__相乘而得到，相当于从__个（a+b）中取__个b的组合数C__，因此ab的系数是C__。

b2是从__个（a+b）中取__相乘而得到，相当于从__个（a+b）中取__2个b的组合数C__，因此b的系数是C__．(a+b)的展开式可用组合数表示为：

2(a+b)=(a+b) (a+b)= 。

设计意图：引导学生从特殊到一般探究二项式定理。

引导学生用分步乘法原理来分析(a+b)2的展开式在合并同类项之前的项数；概括单项式的形式；用组合知识来考察同类项的个数，培养学生观察能力、抽象思维能力。

类比讨论：用组合知识分析(a+b)32，(a+b)4的展开式。

(a+b) (a+b)433的展开式可用组合数表示为：

(a+b)=(a+b)(a+b)(a+b)= 。

4的展开式可用组合数表示为：

(a+b)=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)= 。

猜想：

(a+b)

= 。

1n1(ab)nCn0anCnabCnkankbkCnnbn

n如何证明这个猜想呢？

师生讨论交流：采用“说理”的方法证明二项式定理。

设计意图：通过教师指导下的探究活动，使学生经历由特殊到一般发现规律，由感性到理性证明猜想的数学思维过程，感受并理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法,培养学生观察、分析、概括能力。

3.

二项式定理

1n1(ab)nCn0anCnabCnkankbkCnnbn这个公式叫做二项式定理。

二项式定理的公式特征：（由学生归纳）

（1）项数：共有n１项。

（2）次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；

字母b按升幂排列，次数由0递增到n。

各项的次数都等于n。

012knk（3）

二项式系数: 依次为Cn，这里Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)称为二项式系数。

knkk（4）

二项展开式的通项: 式中的Cn

用Tk1ab叫做二项展开式的通项，knkk表示，即通项为展开式的第k１项: Tk1=Cnab

变一变 (1x)CnCnxCnxCnxCnx

4.二项式定理的应用

例1 求(2xn0122kknn16)的展开式. x

分析：为了方便，可以先化简后展开．

(2x161)3(2x1)6

xx111[(2x)6C6(2x)5C62(2x)4C63(2x)3C62(2x)2C6(2x)1]3x6012164x3192x2240x160

xx2x3学生尝试完成，并交流做法。



设计意图：熟悉二项展开式，培养学生的运算能力。

例2 （1）求(12x)7的展开式的第4项的系数；

1（2）求(x)9的展开式中x3的系数及二项式系数

x3解：(12x)7的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3，

∴(12x)7的展开式的第四项的系数是280．

11（2）∵(x)9的展开式的通项是Tr1C9rx9r()r(1)rC9rx92r，

xx∴92r3，r3，

33∴x3的系数(1)3C984，x3的二项式系数C984．

1思考：(x)9中x5的的系数是多少？展开式含不含常数项？

x学生尝试完成，并交流做法。

设计意图：熟悉二项展开式通项公式，区分某项的系数与二项式系数，掌握求二项展开式中某些特定项的方法。

三、巩固提升

基础训练：

1.写出(1+2x)

展开式的

（1）第四项; （2）第四项的系数；

（3）第四项的二项式系数；

课本31页练习：1、2、3、4 拓展练习：

1.(x＋2)的展开式中x的系数为(

) A．20 B．60 C．80 D．160 2 .2x36451

的展开式中的常数项为( x7

) A．14 B．－14 C．42 D．－42 3. Cn·2n＋

Cn·2n－1＋…＋Cn·2n－k＋…＋

Cn

等于( ) A．2n

B．2n－1 C．3n D．1 （B；A；C）

设计意图：二项式定理正向、逆向运用，拓展学生思维。

释疑解惑：课前引入问题（4）：今天是星期五，那么8100

天后的这一天是星期几？

学生思考，交流。

01kn

师生交流：

1008100（71）010099r100rC10C1C100710070799100C17C100100099（7C100799C100）1

余数是1，所以这一天是星期六。

设计意图：回归问题，体会知识的实际应用价值，感受成功的喜悦。

四、归纳小结

1．通过这节课的学习，你有哪些方面的收获？

2．教师强调：

（1）探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法。

（2）思维方法：从特殊情况入手，“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法，是人们发现事物规律的重要方法之一，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良好习惯。

（3）二项式定理每一项中字母a，b的指数和为n，a的指数从n递减至0同时b的指数由0递增至n，体现数学的对称美、和谐美。二项式系数还有哪些规律呢？希望同学们在课下继续研究、能够有新的发现。

五、作业设计

巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、2、3 012knC,C,C,,C,,Cnnnnn思维思维拓展型作业：二项式系数有何性质？见拓展资源。

六、板书设计

1．3．1二项式定理（一）

一、二项式定理

1n1(ab)nCn0anCnabCnkankbkCnnbn

特征：1. 项数：共有n１项。

2. 次数：各项的次数都等于n。

3. 二项式系数。

knkk4.二项展开式的通项：Tk1=Cnab

二、应用 例1、例2 三、练习：1、2、3、4 四、归纳总结：

1.知识层面：二项式定理

2.方法层面：

（1）探究方法：特殊到一般

（2）思维方法

：观察、归纳、类比。

教学反思

1.引导学生探究交流，发挥学生的主体作用。

本节课采用探究式教学方式，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的体现和主体作用的发挥，尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，符合“以学生的发展为本”新课程理念。教学中教师引导学生从特殊情况入手，探究n=1，2，3，4，…时二项展开式的规律，观察发现二项式定理的基本内容，再推广到一般（强调证明，但不要求证明），学生经历从特殊到一般的学习过程，在接受、掌握知识的同时，学生的学习能力与思维方法得到发展，科学思维修养获得了提高，合作的意识得到加强。

2.本课有意识地培养学生的数学应用意识。新课程理念中强调“培养学生的数学应用意识”，本节课正是由实际问题的引入为开始，又以问题的最终解决为结局，数学的应用贯穿整个课堂，突出了“应用意识”的培养，符合新课程理念。

3.突出数学思维方法与学习方法的指导。数学有两类猜想，一是归纳（不完全归纳），一是类比，本节课充分体现数学的“观察――归纳――猜想――证明”

的思维方法：首先由学生探究n=1，2，3，…时二项展开式的特点，发现二项展开式的项数、指数及系数的基本规律；然后进一步归纳、猜想出当n为任意正整数时二项展开式的基本规律（强调应该证明，由于知识的局限，以后再证明），这样体现了从特殊到一般的辩证过程。

4.感受数学知识中的对称美、和谐美。

通过对二项展开式结构特点的观察，学生体验到数学公式的对称美、和谐美。