3.1.2 复数的几何意义教学设计及教案分析

3．1.2 复数的几何意义

文山市第一中学 讲课人：陶富明

一、教学目标：

1.理解复平面、实轴、虚轴等概念. 2.理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用. 3.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别与联系. 二、教学重点：

重点：理解并掌握复数的几何意义. 难点：复平面内的点z(a,b),OZ,zabi的关系；复数模的问题. 三、教学难点：复数模的问题。

四、教学过程

预习课本P52～53，思考并完成下列问题

(1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？

(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？

独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.

合作探究

1．复平面

2．复数的几何意义

一一对应(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)―――――――→

复平面内的点Z(a，b) 一一对应――→(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)

――――→平面向量OZ. 3．复数的模

(1)定义：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模．

(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. (3)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．

[点睛] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系

实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．

小试身手

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(

) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．(

) (3)复数的模一定是正实数．(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)×

2．已知复数z＝i，复平面内对应点Z的坐标为(

) A．(0,1)

B．(1,0)

C．(0,0)

D．(1,1) 答案：A 3．向量a＝(1，－2)所对应的复数是(

) A．z＝1＋2i C．z＝－1＋2i 答案：B 4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________. 答案：5

题型一：复数与点的对应关系

B．z＝1－2i D．z＝－2＋i a2－a－6[典例] 求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)a＋3对应的点Z满足下列条件：

(1)在复平面的第二象限内．

(2)在复平面内的x轴上方．

[解] (1)点Z在复平面的第二象限内，

a2－a－6a＋3＜0，则2a－2a－15＞0，

解得a＜－3. (2)点Z在x轴上方，

a－2a－15＞0，则a＋3≠0，2

即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3. 课堂练习一

1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．

解：点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，

所以a＝5. 故a＝5时，点Z在x轴上．

2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．

解：因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，

a2－a－62所以＋a－2a－15＋7＝0，

a＋3即a3＋2a2－15a－30＝0，

所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±15. 所以a＝－2或a＝±15时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．

利用复数与点的对应解题的步骤

(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．

(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．

题型二：复数的模

[典例] (1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝5，则复数z＝(

) A．1＋2i

C．±1±2i

B．－1－2i D．1＋2i或－1－2i (2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是(

) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

B．(－1,1) C．(1，＋∞)

D．(0，＋∞)

[解析] (1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，

由|z|＝5得

a2＋4a2＝5，

解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i. (2)因为|z1|＝

a2＋4，|z2|＝4＋1＝5，

所以a2＋4＜5，即a2＋4＜5，所以a2＜1，

即－1＜a＜1. [答案] (1)D (2)B

复数模的计算

(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．

(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．

课堂练习二

1．如果复数z＝1＋ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值范围是(

) A．(－22，22) B．(－2,2) C．(－1,1) D．(－3，3) 解析：选D 因为|z|＜2，所以1＋a2＜2，则1＋a2＜4，a2＜3，解得－3＜a＜3.

12．求复数z1＝6＋8i与z2＝－－2i的模，并比较它们的模的大小．

21解：∵z1＝6＋8i，z2＝－－2i，

2∴|z1|＝62＋82＝10，

|z2|＝

3122－＋(－2)＝. 223∵10>，∴|z1|>|z2|. 2题型三：复数与复平面内向量的关系

――→――→[典例] 向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，――→――→则OZ1+OZ2对应的复数是(

) A．－10＋8i C．0 B．10－8i D．10＋8i ――→――→[解析] 因为向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5――→――→――→＋4i，所以OZ1＝(－5, 4), OZ2＝(5, －4)，所以OZ2＝(5，－4)＋(－――→――→5,4)＝(0,0)，所以OZ1+OZ2对应的复数是0. [答案] C

(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．

(2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申|z－z1|表示点Z到点Z1之间的距离．如|z－i|＝1表示点Z到点(0,1)之间的距离为1. 课堂练习三

在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模．

z1＝1－i；z2＝－＋123i；z3＝－2；z4＝2＋2i. 2

13解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，Z2－，，

22Z3(－2,0)，Z4(2,2)，则向量OZ1，OZ2,

OZ3,OZ4分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．

――→――→――→――→

各复数的模分别为：|z1|＝12＋(－1)2＝2；

|z2|＝

1232－＋＝1；

22|z3|＝(－2)2＝2；|z4|＝22＋22＝22. 五、回顾反思

六、作业布置

“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(八)”