三 排序不等式教学设计(教案)

选修4_5 不等式选讲

课 题：

几个著名的不等式之二：排序不等式

目的要求： 重点难点： 教学过程：

一、引入：

1、问题：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min，25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？

分析：

二、排序不等式：

1、基本概念：

一般地，设有两组数：a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：

对

应

关

系

和

（a1，a2，a3）

（b1，b2，b3）

（a1，a2，a3）

（b1，b3，b2）

（a1，a2，a3）

（b2，b1，

b3）

（a1，a2，a3）

（b2，

b3，b1）

（a1，a2，a3）

（b3，b1，b2）

（a1，a2，a3）

（b3，b2，

b1）

备

注

同序和

S1a1b1a2b2a3b3

S2a1b1a2b3a3b2

乱序和

S3a1b2a2b1a3b3

乱序和

S4a1b2a2b3a3b1

乱序和

S5a1b3a2b1a3b2

乱序和

S6a1b3a2b2a3b1

反序和

根据上面的猜想，在这6个不同的和数中，应有结论：

同序和a1b1a2b2a3b3最大，反序和a1b3a2b2a3b1最小。

2、对引例的验证：

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对

应

关

系

（1，2，3）

（25，30，45）

（1，2，3）

（25，45，30）

（1，2，3）

（30，25，45）

（1，2，3）

（30，45，25）

（1，2，3）

（45，25，30）

（1，2，3）

（45，30，25）

和

备

注

同序和

乱序和

乱序和

乱序和

乱序和

反序和

S1a1b1a2b2a3b3220

S2a1b1a2b3a3b2205

S3a1b2a2b1a3b3215

S4a1b2a2b3a3b1195

S5a1b3a2b1a3b2185

S6a1b3a2b2a3b1180

3、类似的问题：

5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？

分析：

4、排序不等式的一般情形：

一般地，设有两组实数：a1，a2，a3，…，an与b1，b2，b3，…，bn，且它们满足：

a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，

若c1，c2，c3，…，cn是b1，b2，b3，…，bn的任意一个排列，则和数a1c1a2c2ancn在a1，a2，a3，…，an与b1，b2，b3，…，bn同序时最大，反序时最小，即：

a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1，

等号当且仅当a1a2an或b1b2bn时成立。

分析：用逐步调整法

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三、典型例题：

a2b2b2c2c2a2abc。

例1、已知a,b,c为正数，求证：abc

aaaa例2、设a1，a2，a3，…，an为正数，求证：12n1na1a2an。

a2a3ana1

四、小结：

五、练习：

六、作业：

1、求证：abcdabbccdda。

2、在△ABC中，ha , hb ,hc 为边长a,b,c上的高，求证：asinA+bsinB+csinCha +

hb +hc

．

22222222a6b6aba2b2a3b33、若a>0,b>0，则．

22224、在△ABC中，求证：a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc．（IMO）

nak15、若a1，a2，…，an

为两两不等的正整数，求证：2．

k1kk1kn6、若x1，x2，…，xn≥0，x1+x2+…+xn≤

11，则(1x1)(1x2)(1xn)．

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