2.基本不等式教学实录

璧山中学校教学案

年级

复备人

课题内容

高一

杨超

学科

教材版本

数学

人教版

主备人

章节

杨超

必修五第三章

3.4基本不等式的应用

课标解读及教学设计初稿

3.4基本不等式的应用

复备记录

【教学目标】

1.记住基本不等式；

2.会用基本不等式证明简单的不等式；

3.会用基本不等式求代数式的最值. 【重难点】

重点：利用基本不等式求最值；

难点：求最值时代数式的变形. 【教学过程】

[知识梳理] 1．两个不等式

不等式

不等式

基本不等式

内容

22等号成立条件

a＋b≥2ab(a，b∈R)

“a＝b”时取“＝”

a＋bab≤(a>0，b>0)

“a＝b”时取“＝”

2

2.基本不等式与最值

已知x，y都是正数，

(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得___最大值________．

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得______最小值_____. a＋b3．对公式a2＋b2≥2ab及ab≤的理解

2(1)两个公式成立的条件是不同的：前者只要求a、b是实数，而后者强调a、b必须是正数．

(2)“当且仅当”的含义：

a＋ba＋b①当a＝b时，≥ab取等号，即a＝b⇒＝ab；

22

a＋ba＋b②仅当a＝b时，≥ab取等号，即＝ab⇒a＝b.

224．由公式a2＋b2≥2ab和ab≤ba(1)＋≥2(a，b同号)；

abba(2)＋≤－2(a，b异号)；

aba＋b(3)≤ab≤≤

112＋ab222a＋b可以引申出的常用结论

2a2＋b2(a>0，b>0)；

2或ab≤a＋b2≤a＋ba>0，b>0.

22

例1仔细研究课本例1（99页）

和定积最大(即a,b的和确定时,ab取得最大值，当a+b=S时，当且仅当a=b时取等号）

积定和最小(即a,b的积确定时,a+b取得最小值，当ab=P时，（当且仅当a=b时取等号）

要点1利用基本不等式求最值

9例2..(1)若x>0，求f(x)＝4x＋的最小值；

x3(2)设0

24(3)已知x>2，求x＋的最小值；

x－219(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

xy[解]

(1)∵x>0，

∴由基本不等式得

9f(x)＝4x＋≥2 x94x·＝236＝12，

x939当且仅当4x＝，即x＝时，f(x)＝4x＋取最小值12. x2x

3(2)∵00，

2∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] 2x＋3－2x92≤2＝. 223当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取“＝”．

49∴y的最大值为. 2(3)∵x>2，∴x－2>0，

44∴x＋＝(x－2)＋＋2 x－2x－2≥2 4x－2·＋2＝6. x－24当且仅当x－2＝，

x－24即x＝4时，x＋取最小值6. x－2

19(4)∵x>0，y>0，＋＝1，

xy19y9x∴x＋y＝(x＋y)x＋y＝10＋＋

xy≥10＋29＝16. y9x19当且仅当＝且＋＝1时等号成立，

xyxy即x＝4，y＝12时等号成立．

∴当x＝4，y＝12时，x＋y有最小值16.

点评：(1)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子进行适当的“拆项、添项、配凑、变形”等，以创设应用基本不等式的条件．

(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如函数单调性、数形结合法、换元法、判别式法等．

51[变式训练]

(1)已知x<，则函数f(x)＝4x－2＋的最大值________．

44x－5

11(2)已知正数x，y满足x＋2y＝1，则＋的最小值________．

xyxy(3)已知x>0，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．

34x2(4)若x>1，则函数y＝的最小值________．

x－1[答案]

(1)1

(2)3＋22

(3)3

(4)4

要点2利用基本不等式解决实际问题

例3.如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1)现有可围

36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

解法一：由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，

27∴26xy≤18，得xy≤，

227即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．

22x＋3y＝18，由2x＝3y，x＝4.5，解得y＝3.

故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大

(2)由条件知S＝xy＝24. 设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y. ∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，

∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．

2x＝3y，由xy＝24，

x＝6，解得y＝4.

故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小

[变式训练]

某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000 m2的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，

购地总费用平均购地费用＝

建筑总面积2160×1010800[解]

设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝. 2000 xx10800225于是每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋＝560＋48x＋(x≥10)，

4xx225当x＋取最小时，y有最小值x．

225∵x>0，∴x＋≥2 xx·225＝30，

x225当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．

x∴当x＝15时，y有最小值2000元．

因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小

要点3利用基本不等式证明不等式

（AB）例3.(1)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>ab＋bc＋ca. (2)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，

111求证：a－1b－1c－1≥8.

[证明]

(1)∵a>0，b>0，c>0，

∴a＋b≥2ab>0，b＋c≥2bc>0，c＋a≥2ca>0. ∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，

即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca. 由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．

∴a＋b＋c>ab＋bc＋ca.

(2)∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，

1－ab＋c2bc1∴－1＝＝≥，

aaaa12ac12ab同理－1≥，－1≥. bbcc11由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得a－1b－112－1c≥bc2ac2ab··＝8. abc1当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

3

【课堂点拨】

每课时教学反思