1.3 二项式定理（通用）课件配套优秀获奖教案

高中数学《二项式定理》教学设计

【教学目标与教学内容】

本节课时高中数学第二册（下A）10．4二项式定理第一节课．

本节课的学生起点：学生已经学习了组合的基本知识，初中学习了多项式乘法．

本节课是在组合和多项式乘法的基础上，进一步研究学习二项式定理的内容．这一内容我共安排两课时，这是第一课时．

1．教材分析：

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．这一小节与很多内容都有着密切的联系，特别是它在本章的学习中起着乘上启下的作用．学习本小节的意义在于：①二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有其内在联系，本小节是学习概率知识及概率统计的准备知识；②二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可以得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识；③基于二项展开式与多项式乘法的联系，本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用；④二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法．

教材的安排：教材中是通过n取一些特殊值（1，2，3，4）的基础上，观察归纳出二项式定理，强调要分析清楚式子展开并进行同类项合并后有哪些项及各项系数的一些规律，教材采用的是不完全归纳法，没有进行严谨的证明．教材随后安排了四道例题，是对二项式定理的简单应用．

重点：二项式定理的内容及应用

难点：二项式定理的推导过程及内涵

2．内容分析：

n1n1n22nrrn(ab)nC0bC2bCrbCnnaCnanananb(nN*)

对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展开式．

3．教学目标：

知识技能：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用．

过程方法：通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验．

情感、态度和价值观：通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程；通过对二项展开式结构特点的观察，体验数学公式的对称美、和谐美．

４.教学过程

一、设置情境，引入课题

问题

某人投资10万元，有两种获利的可能供选择．一种是年利率12％，按单利计算，10年后收回本金和利息．另一种年利率10％，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息．

试问，哪一种投资更有利？

分析：本金10万元，年利率12％，按单利计算，10年后的本利和是

10×（1＋12％×10）＝22（万元）

本金10万元，年利率10％，按每年复利一次计算，10年后的本利和是

10(110%)10

那么如何计算(110%)10的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如(ab)n的展开式．

二、探索研究二项式定理的内容

问题：(ab)n的展开式有什么特点？你能将它展开吗？试一试．[学生分组探究] 学生可能的探究方法1：

1由(ab)1abC10aC1b

2122(ab)2a22abb2C02aC2abC2b

0322233(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC13abC3abC3b

0413222344(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4C4aC4abC4abC4ab3C4b

来源学科网ZXXK]

……

学生可能通过具体的例子来展开说明，

如：(ab)3a33a2b3ab2b344322来源学§科§网

4或(ab)a4ab6ab4abb

学生归纳过程可能如下：

以(ab)为例的展开式的分析过程：

43(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)a44a3b6a2b24ab3b4

容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：a4,a3b,a2b2,ab3,b4．

[学生可能归纳出来：（1）每一项中字母a，b的指数之间的关系（2）项的个数有n1项] 在上面4个括号中：

每个都不取b的情况有1种，即C4种，所以a4的系数是C4；

113恰有1个取b的情况下有C4种，所以ab的系数是C4；

2222恰有2个取b的情况下有C4种，所以ab的系数是C4；

00恰有3个取b的情况下有C4种，所以ab的系数是C4；

4个都取b的情况下有C4种，所以b的系数是C4；

因此(ab)C4aC4abC4abC4abC4b．

[归纳、猜想(ab)?] n1n1n22nrrn(ab)nC0bC2bCrbCnnaCnanananb333444404132223344n(nN*)

教师根据情况进行指导和引导，尤其是各项二项式系数的确定，教师要从各项中a，b

指数的含义如a4,a3b来引导，并要求学生说明怎么得到这些项？教师可以通过电脑演示各形式项的形成过程，将学生的思维过程展示．

学生可能的探究方法2：

(ab)n(ab)(ab)(ab)(ab)，共n个(ab)，依据多项式乘法，直接写出各项．

[学生成果展示，可通过具体实例：通过投影、板书或口述] 问题：希望学生得到的规律

（1）

项数：n1项；

（2）

指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减至0，同时，字母b的指数由0递增至n；

012rn（3）

二项式系数是Cn

,Cn,Cn,,Cn,Cnrnrr（4）

通项：Tr1Cnab

[板书（1），（2）] [规律（3）得到后，板书(ab)nanan1banrbrbn] [规律（4）得到后，补全二项式定理板书] 教师引导中，可能用到的引导问题：

（1）

将(ab)n展开，有多少项？

（2）

每一项中，字母a，b的指数有什么特点？

（3）

字母a，b的指数的含义是什么？是怎样得到的？

（4）

如何确定anrbr的系数？

教师引导学生观察二项式定理，从以下几方面强调：

（1）

项数：n1项；

（2）

指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减至0，同时，字母b的指数由0递增至n；

（3）

二项式系数：下标为n，上标由0递增至n；

rnrrr（4）

通项：Tr1Cn

ab指的是第r+1项，该项的二项式系数是Cn（5）

公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)的二项展开式，上面的定理是用不完全归纳法得到的，将来可以用数学归纳法进行严格证明．

三、二项式定理的应用

1．解决本节课开始提出的问题．

解：10(110%)10n10(10.1)10

2210(1C1)

100.1C100.124.5

由此可见，按年利率10％每年复利一次计算的要比年利率12％单利计算更有利，10年后多得利息2.5万元．

备选例题来源:Z。xx。k.Com]

42．展开(12x)

0431222313404解：(12x)4C4

1(2x)0C11(2x)C1(2x)C1(2x)C1(2x)444418x24x232x316x4

思考1．第三项的系数是多少？

思考2．第三项的二项式系数是多少？你能得到什么结论？

[板书：.二项式系数与项的系数是两个不同概念．] 思考3．若本例只求第三项的二项式系数，你还可以怎么处理？哪种方法更好？

四、归纳小结

1．学生的学习体会与感悟；

2．教师强调：

（1）主要探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法

（2）从特殊情况入手，“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法，是人们发现事物规律的重要方法之一，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良好习惯．

（3）二项式定理每一项中字母a，b的指数和为n，a的指数从n递减至0同时b的指数由0递增至n，体现数学的对称美、和谐美．二项式系数还有哪些规律呢？希望同学们在课下继续研究、能够有新的发现．

五、作业

习题1.3 A组1、2、3、4 六、课后反思

（1）二项式系数的确定，对平行班的学生来说，如果没有教师的适时，适度的引导，学生如何探究归纳，能否独立研究出来？

（2）学生交流成果呈现方式问题，本节课中并没有使用实物展台，而是将学生的成果通过口述方式呈现在黑板上，若使用实物展台，由学生上讲台来展示，课堂效果会不会更好？课堂效率是否有提高？另外，投影和黑板板书之间如何更有机的结合？这些都需要做进一步的探讨．