3.1.2 复数的几何意义教学设计和教学实录

第三章

数系的扩充与复数的引入

3.1.2 复数的几何意义

一、教学目标

1.核心素养

通过学习数系的扩充和复数的概念，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.

2.学习目标

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系. （2）理解复数的基本概念，复数的代数形式及复数相等的充要条件. （3）复数的向量表示. 3.学习重点

复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示. 4.学习难点

复数相等的条件，复数的向量表示. 二、教学设计

●活动一

类比实数的几何意义，探究复数的几何意义

若把a，b看成有序实数对（a，b），则（a，b）与复数a+bi是怎样的对应关系？有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）

实数可以用数轴上的点来表示

一一对应实数轴上的点（几何模型）实数

这里面体现的是“数”、“形”互换的思想. 任何一个复数z=a+bi，都可以由一个有序实数对（a，b）唯一确定.因为有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)；

如图：复数z=a+bi可以用点Z（a，b）（复数的几何形式）来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

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显然，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点（除了原点）都表示纯虚数. 22例4 实数m取什么值时，复平面内表示复数m8m15m5m14i的点，(1)位于第四象限(2)位于y=x上？

m28m150详解：(1)由m8m15,m5m14位于第四象限，得2，

m5m14022解得，2m3或5m7

22(2)由m8m15,m5m14位于直线y=x上，得m28m15=m25m14即m29. 3点拨：本题考查复数的几何意义即复数z=a+bi与点Z（a，b）一一对应.复数zabi表示的点坐标为a,b，分别由条件求解即可得. ●活动二

类比探究复数的另外一个几何意义

除了用平面里的点表示复数，还可以用什么表示复数？还可以用向量！

设复平面内的点Z（相对于原点来说）也可以由向量OZ唯一确定.反之，也成立.因此，复数z=a+bi与OZ也是一一对应的（实数0与零向量对应），这是复数的另一种几何意义. 复数z，点Z(a，b)，OZ三者关系如下：

复数的向量形式.以原点O为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数. ●活动三

探究复数的模的几何意义

uuur向量OZ的模叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|.

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由模的定义知: |z||abi|ra2b2(r0,rR)

例5 已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围.

【知识点：复数的几何意义，复数的模；数学思想：数形结合】

详解：方法一：∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝32＋a2，

由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－7，7). 方法二：利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，

所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合. 由图可知：－7

【知识点：复数的模的几何意义，复数的模；数学思想：数形结合】

详解：(1)方法一：|z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆. 方法二：设z＝a＋bi，由|z|＝2，

得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆. (2)不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合. 如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.

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点拨：解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：

一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；

二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决

3.课堂总结

【知识梳理】

实数(b＝0)纯虚数(a＝0)(1)复数的分类：复数(z=a＋bi，a，b∈R)虚数(b≠0)非纯虚数(a≠0)(2)复数相等的充要条件

设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. (3)复数与点、向量间的对应

①复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)；

一一对应→＝(a，b). ②复数z＝a＋bi(a，b∈R)――→平面向量OZ(4)复数的模

→，则OZ→的模叫做复数z的模，记作|z|，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ且|z|＝a2＋b2. 【重难点突破】

（1）对于复数概念，首先要在变化中认识复数代数形式的结构，正确判断复数的实部、虚部，然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件，用列方程（或不等式）的方法求出相应参数的取值(或取值范围) （2）对于复数相等的问题.必须保证实部和虚部都分别相等

（3）对于复数的向量表示，先准确找出复数所表示的向量是关键. 4.随堂检测

1.若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(

)

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A.a＝－1

B.a≠－1且a≠2

C.a≠－1

D.a≠2

【知识点：纯虚数的概念、复数的代数形式；数学思想：分类讨论】

解：C.若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数.当a2－a－2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a≠－1且a≠2；当a2－a－2＝0且|a－1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a＝2.综上所述，当a≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数. 2.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为(

) A.1

B.0

C.－1

D.－1或1 【知识点：复数的概念、复数的代数形式；数学思想：分类讨论】

m(m＋1)＝0解：B 由题意知2∴m＝0. m－1≠03.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于(

) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【知识点：复数几何意义；数学思想：数形结合】

解：B ∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点（-2，1）位于第二象限.. →对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝4.在复平面内，O为原点，向量OA→对应的复数为(

) －x的对称点为B，则向量OBA.－2－i

B.－2＋i

C.1＋2i

D.－1＋2i 【知识点：复数的几何意义；数学思想：数形结合】

→对应的复数解：B ∵A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点B(－2，1)，∴向量OB为－2＋i.

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