小结优秀教案设计

安宁一中

杨仕良

高一数学

（必修5）

课题: 《不等式》小结

授课类型：复习课

【教学目标】

1．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；

2．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题； 3．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。

【教学重点】

1.线性规划问题；2均值不等式的使用条件和应用。

【教学难点】

1.含有参数的一元二次不等式问题；

2.含有变量的线性规划问题。

【教学过程】

一、回顾练习

1.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(

) abA.d＞c

abB.d＜c

abC.c＞d

abD.c＜d

2.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(

) A.(0，0)

B.(－1，1)

C.(－1，3)

D.(2，－3)

3.(2015·广东卷)不等式－x2－3x＋4＞0的解集为________(用区间表示). 4.若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(

) A.a2＋b2＞2ab

112C.a＋b＞

ab

B.a＋b≥2ab

baD.a＋b≥2 5.(人教A必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大

二、知识结构

三、知识梳理

（一）不等式与不等关系 (1)对称性：abba

安宁一中

杨仕良

高一数学

（必修5）

(2)传递性：ab,bcac(3)加法法则：abacbc；ab,cdacbd(4)乘法法则：ab,c0acbc；ab,c0acbcab0,cd0acbd(5)倒数法则：ab,ab011ab(6)乘方法则：ab0anbn(nN*且n1)(7)开方法则：ab0nanb(nN*且n1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小--------作差法（二）一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解法

一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集：

设相应的一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b4ac，2则不等式的解的各种情况如下表：

二次函数

0

0

0

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

axbxc02a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集

x1,x2(x1x2)

x1x2b

2a

xxx或xx

12bxx

2a 

R 

xx1xx2

安宁一中

杨仕良

高一数学

（必修5）

（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

a＋b（四）.基本不等式：ab≤

2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. a＋b(3)其中称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数. 22.几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. a＋b(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. a2＋b2a＋b2(3)≥22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. ba(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. ab3.利用基本不等式求最值

已知x＞0，y＞0，则

2

安宁一中

杨仕良

高一数学

（必修5）

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小). s2(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 4四、题型突破

例1、解关于x的不等式

5x1

1（）23x2x20(2)3(3)x2ax2a20x1

4

例2.(1)已知x0,求x的最值；x2

1

（2）已知0x,求函数yx(13x)的最大值；

3

19（3）已知x0,y0,且3,求xy的最小值.

xy

2xy20

例3、已知实数x,y满足x2y40

3xy30

(1)求z2x3y的最大值与最小值；（2）求m3x2y的最大值与最小值；

变式1、已知1xy3,求4x2y的取值范围.1xy1



yx

且z2xy的最小值为-6，求k.

变式2、已知实数x,y满足xy4yk



五、课堂小结

1、解一元二次不等式和恒成立问题

2、线性规划问题的解题步骤

3、基本不等式的使用条件和相关最值问题