1.3 二项式定理（通用）教案设计（一等奖）

二项式定理

教学目标

1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教学过程

一、

二项式定理及其相关概念

思考1

我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式. 答案

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 思考2

上述两个等式的右侧有何特点？

答案

(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4. 思考3

你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？

答案

(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b).由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选403b相乘即得展开式中的一项.若都选a，则得C0若有一个选b，其余三个选a，则得C14ab：4ab；22204若有两个选b，其余两个选a，则得C4ab；若都选b，则得C44ab. 思考4

能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？

n1n1nkkn*答案

能，(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb (n∈N). －－二项式定理

二项式系数

通项

二项式定理

的特例

n1n1nkkn公式(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb，－－称为二项式定理

Ckn(k＝0,1，…，n) nkkTk＋1＝Ckb

na－012kknn(1＋x)n＝Cn＋Cnx＋C2nx＋…＋Cnx＋…＋Cnx

二、

二项式定理的正用、逆用

例1

(1)求(x＋2y)4的展开式. n1n1n2nk(2)化简：C0＋C2－…＋(－1)kCk＋…＋(－1)nCnn(x＋1)－Cn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1)n. －－－413222334443223解

(1)(x＋2y)4＝C04x＋C4x(2y)＋C4x(2y)＋C4x(2y)＋C4(2y)＝x＋8xy＋24xy＋32xy＋16y4. n1n1n2nkn(2)原式＝C0(－1)＋C2(－1)2＋…＋Ck(－1)k＋…＋Cnn(x＋1)＋Cn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1)－－－

(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 反思与感悟

1.(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：(1)各项的次数等于n；(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. 2.逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢. 跟踪训练1

(1)求3x＋14的展开式；

x(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 1解

(1)方法一

3x＋4

x1213＋C4·14

4131223＝C0(3x)＋C(3x)·＋C(3x)·＋C(3x)·44444xxxx121＝81x2＋108x＋54＋＋2. xx13x＋1方法二

3x＋4＝

x2x1＝2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) x121＝81x2＋108x＋54＋＋2. xx5142332450(2)原式＝C05(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)－1 4＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 三、

求二项展开式的特定项

2x－n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：

例2

已知x(1)n的值；

(2)展开式中含x2的项. 解

(1)因为T3＝C2n(x)2n－1－

T2＝C1n(x)xn－2－22＝4C2xnxn62,

2Cx1nn32,

1依题意得4C2n＋2Cn＝162，

1所以2C2n＋Cn＝81，

所以n2＝81，n＝9.

(2)设第k＋1项含x项，则9－3k所以＝3，k＝1，

2所以第二项为含x3的项：

33T2＝－2C19x＝－18x. 3Tk＋1＝Ck9(x)9－k－2k＝(2)kCkx9x93k2,

反思与感悟

1.二项式系数都是组合数Ckn(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念. 2.第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Ck在(1＋2x)7n.例如，7333的展开式中，第四项是T4＝C3(2x)3，其二项式系数是C3717＝35，而第四项的系数是C72－＝280. 12x－6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；

跟踪训练2

(1)求二项式x1x－9的展开式中x3的系数. (2)求x解

(1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1

1r6－r－＝Cr(2x)·6x

(1)C2∴T6＝C56(2rr66rx33r2

915x)－x＝12x2.

∴第6项的二项式系数为C56＝6，

第6项的系数为C5(－1)·2＝－12. 6·(2)设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则

19－rr9－2r－r＝(－1)r·Tr＋1＝Cr·Cx，

9x9·x∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C39＝－84. 四、

求展开式中的特定项

33n的展开式中，第6项为常数项. x－例3

已知在3x(1)求n；

(2)求含x2的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项. 解

通项公式为：

Tr1Cxrnnr3(3)xrr3C(3)xrnrn2r3.

(1)∵第6项为常数项，

n－2r∴r＝5时，有＝0，即n＝10. 3n－2r1(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，

322∴所求的系数为C210(－3)＝405. 10－2r3∈Z，(3)由题意得，≤r≤10，∈Z.3则10－2r＝3k，即r＝5－k. 2∵r∈Z，∴k应为偶数. k＝2,0，－2即r＝2,5,8.

－10－2r令＝k(k∈Z)，

3所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x2. －反思与感悟

1.求二项展开式的特定项的常见题型

1n(1)求第k项，Tk＝Ckna－－k＋1bk1；

(2)求含xk的项(或xpyq的项)；

(3)求常数项；

(4)求有理项. 2.求二项展开式的特定项的常用方法

(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；

(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；

(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致. ax－9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________. 跟踪训练3

(1)若xx－18(2)23的展开式中的常数项是________. x(1)1

(2)7 1r9－rrr9－2r解析

(1)展开式的通项为Tr＋1＝Cr(－a)r＝C·(－a)x(0≤r≤9，r∈N).当9－2r＝39x9x3时，解得r＝3，代入得x3的系数，根据题意得C9(－a)3＝－84，解得a＝1. (2)展开式的通项为

Tr＋1＝Cr81－rx8－r3

2xr18rr8r1(1)()C8x3

2rr18rr84(1)()C8x3(0≤r≤8,r∈N).

2r18－664令8－r＝0，得r＝6，则T7＝(－1)62C8＝7. 3五、练习

1.二项式(a＋b)2n的展开式的项数是(

) A.2n

C.2n－1

答案

B 解析

展开式的项数比指数大1. 2.二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x3的系数为15，则n等于(

) A.4

B.5

C.6

D.7 答案

C n2解析

由题意知：Cn＝15，

－B.2n＋1 D.2(n＋1) nn－1即C2＝15. n＝2解得：n＝6或－5(舍去). 3.(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案) 答案

－20 解析

利用二项展开式的通项公式求解. 7x2y7＝x·(xy7)，其系数为C8，

x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C68，

6∴x2y7的系数为C78－C8＝8－28＝－20. 23nn*4.化简S＝1－2C1n＋4Cn－8Cn＋…＋(－2)Cn(n∈N). 12233nnn解

将S的表达式改写为：S＝C0n＋(－2)Cn＋(－2)Cn＋(－2)Cn＋…＋(－2)Cn＝[1＋(－2)]＝(－1)n. 1，n为偶数时，∴S＝(－1)＝－1，n为奇数时.n

六、小结

1.注意区分项的二项式系数与系数的概念. nkk2.要牢记Ckb是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项. na－

3.求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值.