1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用优秀完整教案

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（一）

教学目标

（一）知识与技能：通过本节知识的学习，了解独立性检验的基本思想和初步应用，能对两个分类变量是否有关做出明确的判断。明确对两个分类变量的独立性检验的基本思想具体步骤，会对具体问题作出独立性检验。

（二）过程与方法:

在本节知识的学习中，应使学生从具体问题中认识进行独立性检验的作用及必要性，树立学好本节知识的信心，在此基础上学习等高条形图，并认识它们的基本作用和存在的不足，从而为学习下面作好铺垫，进而介绍K的平方的计算公式和K的平方的观测值k的求法，以及它们的实际意义。从中得出判断“X与Y有关系”的一般步骤及利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并能较准确地给出这种判断的可靠程度的具体做法和可信程度的大小。最后介绍了独立性检验思想的综合运用

(三)情感、态度与价值观：通过本节知识的学习，首先让学生了解对两个分类博变量进行独立性检验的必要性和作用，并引导学生注意比较与观测值之间的联系与区别，从而引导学生去探索新知识，培养学生全面的观点和辨证地分析问题，不为假想所迷惑，寻求问题的内在联系，培养学生学习数学、应用数学的良好的数学品质。加强与现实生活相联系，从对实际问题的分析中学会利用图形分析、解决问题及用具体的数量来衡量两个变量之间的联系，学习用图形、数据来正确描述两个变量的关系。明确数学在现实生活中的重要作用和实际价值。教学中，应多给学生提供自主学习、独立探究、合作交流的机会。养成严谨的学习态度及实事求是的分析问题、解决问题的科学世界观，并会用所学到的知识来解决实际问题。

教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量K2的含义. 教学方法：诱思探究教学法

学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

教学过程：

一、复习准备：

回归分析的方法、步骤，刻画模型拟合效果的方法（相关指数、残差分析）、步骤. 二、讲授新课：

1. 教学与列联表相关的概念：

①

分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量. 分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义. 如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”. ②

列联表：分类变量的汇总统计表（频数

不患肺患肺总计

表）. 一般我们只研究每个分类变量只取两癌

癌

个值，这样的列联表称为22. 如吸烟与患不吸烟

7775

42 7817 肺癌的列联表：

2148 吸

烟

2099

49 2. 教学等高条形图：

9965 总

计

9874

91 由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟

者患肺癌的可能性存在差异.（教师在课堂上用EXCEL软件演示等高条形图，引导学生观察图形的特征，并分析由图形得出的结论）

3. 独立性检验的基本思想：

①

独立性检验的必要性（为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论？）：列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体. ②

独立性检验的步骤（略）及原理（与反证法类似）：

反证法

假设检验

要证明结论A 备择假设H1

在A不成立的前提下进行在H1不成立的条件下，即H0成立的条件下进行推理

推理

推出矛盾，意味着结论A推出有利于H1成立的小概率事件（概率不超过的成立

事件）发生，意味着H1成立的可能性（可能性为（1－））很大

没有找到矛盾，不能对A推出有利于H1成立的小概率事件不发生，接受原假下任何结论，即反证法不设

成功

③

上例的解决步骤

第一步：提出假设检验问题

H0：吸烟与患肺癌没有关系

H1：吸烟与患肺癌有关系

n(adbc)2第二步：选择检验的指标

K（它越小，原假设“H0：(ab)(cd)(ac)(bd)2吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H1：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大. 第三步：查表得出结论

P(k2>k0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.00.020.010.000.00) 5 5 0 5 1

k

0.450.701.322.072.703.85.026.637.8710.85 8 3 2 6 4 4 5 9 3 三，例题讲解

题型一

图形的应用

例1打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得的数据，试问：每晚都打鼾与患心脏病有关吗？用图加以分析.

每晚都打鼾

不打鼾

合计

患心脏病

30 24 54 未患心脏病

224 1 355 1 579 合计

254 1 379 1 633 解析：利用等高条形图定性分析两个分类变量之间是否有关系，图形如下：

比较来说，两者差距大，由此我们可以在某种程度上认为“每晚都打鼾与患心脏病”有关系．

点评：利用等高条形图可粗略地判断两个分类变量是否有关系，这种判断可加深对独立性检验基本思想的理解．

跟踪训练1 1．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表：

药物效果试验列联表

服用药

没有服用药

总计

患病

10 20 30 未患病

45 30 75 总计

55 50 105 试用图形判断服用药和患病之间是否有关系．

解析：相应的等高条形图如下：

从图形可以看出，服用药的样本中患病的比例明显低于没有服用药的样本中患病的比例，因此可以认为：服用药和患病之间有关系．

题型二

独立性检验方法——K2公式

例2在调查的480名男士中有38名患有色盲，520名女士中有6名患有色盲，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与患色盲有关系？

分析：解答过程如下：

作出2×2列联表―→计算随机变量K2的值―→

对照临界值作出结论

解析：根据题目所给的数据作出如下的列联表：

男

女

总计

色盲

38 6 44 不色盲

442 514 956 总计

480 520 1 000 根据列联表中所给的数据可以得：

a＝38，b＝442，c＝6，d＝514，a＋b＝480，c＋d＝520，a＋c＝44，b＋d＝956，n＝1 000，

2nad－bc代入公式K2＝，

a＋bc＋da＋cb＋d得K2的观测值为

1 000×38×514－442×62k＝≈27.139，

480×520×44×956由于27.139>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为性别与患色盲有关系．但这个结论只对所调查的这480名男士和520名女士有效．

点评：解决一般的独立性检验问题的步骤：

(1)通过列联表确定a，b，c，d，n的值，根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；

2nad－bc(2)利用K2＝求出K2的观测值k；

a＋bc＋da＋cb＋d(3)如果k≥k0，就推断“两个分类变量有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“两个分类变量有关系”．

跟踪训练2 2．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查，得到的统计数据如下表所示：

学习积极性高

学习积极性一般

合计

积极参加

班级工作

18 6 24 不太主动参

加班级工作

7 19 26 合计

25 25 50 (1)如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？

(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的积极性与对待班级工作的态度有关系？

241219解析：(1)P1＝＝，P2＝. 5025502nad－bc(2)根据K2＝

a＋bc＋da＋cb＋d50×18×19－6×72＝≈11.538＞10.828，

24×26×25×25所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．

四，课后练习:

1．对分类变量X 与Y 的随机变量K2的观测值K ,说法正确的是（) A . k 越大，" X 与Y 有关系”可信程度越小; B . k 越小，" X 与Y 有关系”可信程度越小; C . k 越接近于0，" X 与Y 无关”程度越小

D . k 越大，" X 与Y 无关”程度越大

2. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）

A.若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病; B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病; C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误; D.以上三种说法都不正确. 3.若由一个2*2列联表中的数据计算得k2=4.013,那么有 把握认为两个变量有关系

4.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据

如下表：

性专业

男

女

50(1320107)2k4.844

23272030别 非统计专业

13 7 统计专业

10 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到

因为K23.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 ____;

5.在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动。

（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；

（2）判断性别与休闲方式是否有关系。

参考答案

1.B 2.C

3. 95% 4. 5%

5.解：（1）2×2的列联表 性别 休闲方式

女

男

总计

计算

124(43332721)2k6.201 70546460看电视

43 21 64 运动

27 33 60 总计

70 54 124 （2）假设“休闲方式与性别无关” 因为k5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的， 即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”

五，课时小结

1.

判断两个变量是否有关的三种方法

2.“独立性检验”的具体做法步骤

第一步：根据实际问题需要的可信程度确定临界值;

第二步：利用公式计算随机变量K2的观测值k;

第三步：查对临界值表得出结论. 六，布置作业：

七，板书设计

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（一）

一，复习准备 四，课堂练习

五，课堂总结

二，讲授新课

三，例题讲解

1. 2. 3. 课后反思