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高一数学《基本不等式》教学设计

一．教学目标：

知识与技能：

1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2.进一步掌握基本不等式 ,会应用此不等式求某些简单函数的最值；能够解决一些简单的实际问题. 过程与方法：

1．通过实例探究抽象基本不等式；

2．通过多媒体体会基本不等式abab等号成立条件；

23．通过例题的研究，进一步掌握基本不等式。

情感态度与价值观：

1.积极倡导同学们进行几何与代数的结合运用，发现各种事物之间的普遍联系. 2.引发学生学习和使用数学知识的兴趣。

二．教材分析

1. 教学的重点为：

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab初步理解基本不等式，会用此不等式求某些简单函数的最值. 2.教学的难点为：

基本不等式ab的证明过程； 2abab等号成立条件

2三．教学与学法：

1．

学法指导：学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形相似的知识圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度，从数列知识的角度理解基本不等式。

2．

教法指导：引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，发现各种事物之间的普遍联系. 教学准备：多媒体辅助教学，手工制作的赵爽弦图

四．教学过程设计：

1.课题导入（设计意图：通过教师对第24届国际数学家大会和对赵爽的介绍，引起学生对数学的热爱和学习数学的兴趣。）

基本不等式abab的几何背景：

2课件展示：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。

弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．

思考1：这图案中含有怎样的几何图形？

思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？

- 1 -

D

2.讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有

4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边

GAHFECB长为a,b（a≠b）,那么正方形的边长为a2b2．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为ab．由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：ab2ab．

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有2222a2b22ab．（通过几何画板演示当a=b时的图像）

2．得到结论：一般的，对于任意实数a,b，我们有ab2ab，当且仅当a=b时，等号成立。

3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：通过图形得到了不等式的几何解释，为了更准确地感知和理解，再从数学的逻辑方面给出证明，不仅培养了学生严谨的数学态度，而且还可以从中学习到分析法证明的大体过程）

证明：因为

a2b22abab

222

ab0

2

ab2ab

当且仅当a=b时等号成立

4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式22abab

2特别的，如果a>0,b>0,我们用a、b分别代替a、b ，可得ab2ab，

通常我们把上式写作：基本不等式

（当且仅当a=b时，取等号）

1、在数学中，我们称abab（a>0,b>0) 2ab为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定2理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 此不等式又叫均值不等式。

2）从不等式的性质推导基本不等式

如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上的分析法。

ababa0,b0

2abab 证明： 要证2用分析法证明：证明不等式 只要证ab2ab （1）

- 2 -

要证（1）， 只要证ab2ab0 （2） 要证（2）， 只要证ab0, （3） 2显然，（3）是成立的．当且仅当a=b时，（3）中的等号成立．

3）理解基本不等式abab的几何意义

2abab的几何解释吗？2探究：课本第98页的“探究”

你能利用这个图形得出基本不等式（设计意图：从不同的侧面理解不等式，培养学生一题多解的意识）

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD．(1)AB表示什么?(2)（4）OD与CD的大小关系如何？ 易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD＝ＣA·ＣB即ＣD＝ab. 2ab表示哪个线段？(3)ab对应哪个线段呢？

2这个圆的半径为ababab，其中当且仅当点C与，显然，它大于或等于CD，即22ab几何意义是“半径不小于半弦”

222圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式ab【及时梳理】

1、由赵爽弦图我们得到了重要不等式：ab2ab

2、通过换元我们得到了基本不等式：abab

23、两个不等式的区别和联系：区别： a,b范围不同;联系:等号成立的条件相同

解读不等式：

1.在数学中，如果把ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中2项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.从形与数的角度看基本不等式

从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；

从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系

3.初步应用：

例1.已知x0,则yx1的最小值是多少？此时x取何值？

x1 解： x0,0,

x由基本不等式得，x112x.2

xx

- 3 -

1x1

时取等号，x0，x1所以x0,则yx的最小值是2，此时x=1。

x当且仅当x例2：学校为了美化校园，要用栅栏围一个面积为100平方米的矩形的花圃，

怎样确定长和宽才能使所用材料最少？

解：设矩形花圃的长为x米，宽为y米，

面积S=xy=100 周长为C=2(x+y) 由基本不等式得，xy2xy210020,

即 2xy40,

，xy10取等号。

当且仅当xy时取等号，xy100因此，这个矩形花圃的长、宽都为10米时，所用栅栏最短，只需40米栅栏。

4.课时小结：（设计意图：总结梳理本节课所讲的内容，使学生形成系统的认识，培养学生的归纳总结能力）

本节课，我们学习了重要不等式a＋b≥2ab；两正数a、b的算术平均数（几何平均数（ab）及它们的关系（22ab），2ab≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、2b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用). 5.作业设计

（1）、必修五课本第100页习题A组的第1题,第2题。

（2）、收集基本不等式的其它几何解释。

6．板书设计

3.4 基本不等式

重要不等式：若aR,bR,则a2b22ab（当且仅当ab时等号成立）

基本不等式：ababa0,b02

例1：

例2：

证明重要不等式

证明：（略）

证明基本不等式

证明：（略）

（当且仅当a=b时，取“=”号）

7.教学反思

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