1.3 二项式定理（通用）教案及板书设计

10.3 二项式定理复习教案

大纲要求与考试目标: （1）能用计数原理证明二项式定理

（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题

考点诠释: 重点：理解二项式定理，熟记其展开式及通项. 难点：二项展开式的通项公式的灵活运用解题

易混点：二项式系数与项的系数的区别和联系，. 近三年该考点统计: 2016年

全国卷1第14题,四川卷第2题，

天津卷第10题，

山东卷第12题，

北京卷第10题

2015年

2014年

全国卷1第10题，全国卷2第15题

全国卷1第13题，全国卷2第13题

教材回顾与知识梳理: 1.用计数原理证明二项式定理（教材选修2-3第29—30页归纳，猜想，证明）

2.二项式定理: (ab)n ，

r其中组合数Cn叫 ，展开式共有 项，

其中第r1项Tr1 称为二项展开式的通项，二项式通项的主要用途是求指定项的相关问题. 高考真题: 1．(2016·四川,2,易)设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项是 ，

（A）－15x4

（B）15x4

（C）－20i x4

（D）20i x4

2．(2016·北京,10,易)在(12x)6的展开式中，x2的系数为________．(用数字作答)

3．(2016·课标Ⅰ,14,易)

(2xx)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案) 14．(2016·天津,10,易)

(x2)8的展开式中x7的系数为________．(用数字作x答) 5.(2015·课标Ⅱ,13,易)

xa的展开式中，x7的系数为15，则a=________. 10（A）a2

（B）a

（C）a

（D）a1

6.(2016·山东,12,易)若(ax2________．

7.(2014·课标Ⅰ，13，易)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案) 131215)的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝x8.(2015·课标Ⅰ,10,中)

(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为 ，

高考真题答案解析

r6－r4241．【解析】∵Tr＋1＝Cr，∴含x4的项为T5＝C46x(i)6xi＝－15x. 6－r6－r2．【解析】

由已知得，Tr＋1＝Cr＝Cr·x6－r.令6－r＝2，6·(－2x)6·(－2)2222得r＝4，所以

T5＝C46(－2)x＝60x，故x的系数为60. 5－r3．【解析】

(2x＋x)5的展开式的通项Tr＋1＝Cr·(x)r＝25－r·Cr5(2x)5x5－.2r令5－＝3，解得r＝4.∴x3的系数为25－4C45＝2×5＝10. 2134．【解析】

方法一：由组合原理得，C(x)·－＝－56x7，∴x7的系数为x3825r－56. 方法二：∵Tk＋1＝C8(x)k28－k1k16－3k－，∴Tk＋1＝(－1)kCk. 8xx777令16－3k＝7，得k＝3，∴T4＝(－1)3C38x＝－56x，∴x的系数为－56. 5. 【解析】：因为Tr1C10xr10rar(r0,1,,10)，所以令10-r=7,解得r=3,所以

373T4C10xa15x7，解得a1 C 22156．【解析】

ax＋展开式的通项为

xrr5－r20－5r20－5r25－r3Tr＋1＝Cr(ax)x－＝Cax，令＝5，解得r＝2.所以C2555a＝－80，222解得a＝－2. r8rr7.【解析】：(xy)8展开式的通项为Tr1C8xy(r0,1,7626∴T8C8xy78xy7，T7C8xy28x2y6

,8)，

∴(xy)(xy)8的展开式中x2y7的项为x8xy7y28x2y620x2y7，故系数为20。

8.【解析】

方法一：在(x2＋x＋y)5的5个因式中，两个因式中取x2，剩余的312个因式中1个取x，其余的因式取y，故x5y2的系数为C35C3C2＝30. 方法二：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，

25－rr由二项式定理得通项为Tr＋1＝Cry，

5(x＋x)23223由题意，令r＝2，得T3＝C25(x＋x)y，对(x＋x)，其通项设为

23－mm6－m155221Tm＋1＝Cmx＝Cm，令m＝1，得T′2＝C3x，故xy的系数为C5C3＝30. 3(x)3x高考真题答案：

(1)

A;

(2)

60;

(3) 10;

(4) -56 (5)

C;

(6)

-2;

(4) -20;

(8) 30 命题点：求二项展开式中的特定项或指定项的系数

31)n(x【例1】已知在的展开式中，第6项为常数项. 23x(1)求n；

(2)求含x2项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项. 【解析】(1)通项公式为Tr1Cxrnnr3n2rr11r3rr()x()Cnx3，22因为第6项为常数项，

n－2r所以r＝5时，有＝0，即n＝10. 3

1＝2，得r＝(n－6)＝2，

3212452所以所求的系数为C10－＝. 42(2)令10－2r3∈Z，(3)根据通项公式，由题意得0≤r≤10，r∈Z，10－2r＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，

33即r＝5－k，

2因为k可取2,0，－2，即r可取2,5,8. 令所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为归纳总结：求二项展开式中的项的方法

rnrr求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tr1Cnab(r0,1,2,n－2r

4526345x，－，x－2. 48256,n)的特点，一般需要建立方程求r，再将r的值代回通项求解，注意r的取值范围(r＝0，1，2，…，n)．

(1)第m项：此时r1m，直接代入通项；

(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；

(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．

注意：解题时注意二项式系数中n和r的隐含条件．使用二项式的通项公式时要注意：①通项公式表示的是第r的位置不能颠倒．

题型转变一：已知二项展开式某项的系数求参数

1项，而不是第r项；②通项公式中a和ba71(2x)【例2】：若二项式的展开式中3的系数是84，

xx则实数a等于 ；

题型转变二：形如(axby)(cxdy)或(axbycz)结构

【例3】1.(12x)(1x)展开式中含x项的系数是 ；

4nnx12.(2)5的展开式中整理后的常数项为

. 2x

1r7ra7rrr1.

Tr1C7(2x)2C7a2r7，令2r73，则r5.xx由C75r22a584得a1; 44412. (12x)(1x)(1x)2x(1x),故所求项为C4x2x12x

3. 解法一（运用两个计数原理），展开后的常数项分为三类：

（1）5个式子均取2

，则有C(2)2；

55552

（2）5个式子中一个取1x111C4(2)3；

，一个取

，三个取2

，则有C5

x221x

（3）5个式子中两个取

，两个取

，一个取x2

∴

它们的和为63222

，则有C52()2C322 12

，即为所求常数项。

解法二（变形，转化为二项式问题），当x>0时，

x1

(2x2)5x1(2x10r1T),Cr1012r10r(x)

5

当5r0，即r5

5

则所求常数项为C10(15632 )22归纳：求多项展开式某一项的系数问题的思路．

(1)求二项式参数问题实质是根据系数求r,再回代r得参数方程，求解计算

(2)先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组合知识求解；

(3)运用两个计数原理，或变形，转化为二项式问题，或运用两次二项式定理的通项求解。

小结：会用二项展开式的通项公式的灵活运用解题，

可以解决哪些类型的问题? ①求二项展开式中的特定项或指定项的系数; ②已知二项展开式某项的系数求参数;

③形如(axby)(cxdy)或(axbycz)结构的系数问题

课后作业：学案作业1---6小题

1．(1x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 ；

nn

2．设二项式(xax)6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B4A，则a的值是 ；

3．若(xax2)6展开式的常数项为60，则a的值是 ；

24．x(x)7展开式中x4的系数是 ；

x25. 求(x+3x+2)5的展开式中x的系数 ；

(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5

∴

展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到，即为，因而其系数为240. 6. (a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_________. 分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)10的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而a5b3c2的系数为.