一 数学归纳法公开课教学设计模版

教学设计方案

课题名称：数学归纳法

姓名：

学科年级：

一、教学内容分析

1.1.1 教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

1.1.2 地位作用：前面学生已经初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。它是一种用于关于正整数命题的直接证法。教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系，本节内容是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。也是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。

范倩楠

数学

高二

工作单位：

教材版本：

河北定州中学

人教A版

二、教学目标

知识与技能：理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学问题；进一步提高学生的猜想归纳能力和创新能力，体会类比、归纳的数学思想。

过程与方法：创设积极思考、大胆质疑的课堂情境，提高学生学习兴趣和课堂效率，通过合作探究，体会从猜想到证明的数学方法。

情感态度与价值观：设置问题情境，让学生积极思考，主动探索，激发学生的求知欲望，变“要我学”为“我要学”；同时通过合作讨论培养学生的合作精神，从而优化学生的思维品质；在分析问题、解决问题中，提升学生的人生观、世界观。

教学重点：1.借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证 明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题

2.会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式

教学难点：1.学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明

2.运用数学归纳法时,在“假设与递推”的步骤中发现具体问题中的递推关系。

1

三、学习者特征分析

1、学生的知识与能力储备：作为高二的学生已经学习了数列与推理证明，基本掌握了归纳推理，具备了一定的观察、归纳、猜想的能力。

2、学生可能遇到的困难：（1）学生初学时容易忽视归纳奠基的验证。（2）学生难以理解第二个步骤的作用，尤其是为什么可以根据归纳假设进行证明，以及如何利用归纳假设证明。

四、教法分析

新课程标准指出，高中数学课应倡导自主探索，动手实践，合作交流等学习方式，应该力求通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，培养他们的创新意识。结合本节课的内容，我主要采用小组合作探究的形式，创设各种问题情境，使学生带着问题去主动思考、动手操作、交流合作，帮助学生构建完善的知识结构和正确的解题思路。

教学方法：本节课我主要采用实验法、小组合作探究、类比、引导发现法、感性体验法进行教学。

学法指导：在逐步发现数学归纳法的过程中激发学生的好奇心和兴趣，主动参与知识的

发生、发展过程，学会学习

五、教学过程

创设情景（提出问题）

探索解决问题的方法（建立数学模型）

方法尝试（感性认识）

理解升华（理性认识）

课堂小结（反馈与提高）

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

六、教学手段

借助实验调动学生的积极性； 借助多媒体展示生活实例,激发学生的兴趣。

2

七、教学过程

教学环节

创设通过以上两个小游戏游让学生了解不完全归戏情境设疑

激趣

情境1数列

愉快的学习氛围）

1.

猜粉笔游戏

纳法得出的结论不一2.

猜棒棒糖口味游

戏

的兴趣，营造了轻松定正确，激发了学生教学内容

师生互动

设计意图

an,已知a11,an1创设情境引入问题

annN*,1an学生能够很快得到问题1，2的答案，而结果会培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，抓住认知突破口——学生的概括过程。 从而引入本节课的新课内容。

通过对n1,2,3,4前4项归纳，猜想让学生眼前一亮。

情境1可以让学生通过数列的知识加以验证——感知“不完全归纳法有时是正确的”。

情境2——感知“不完全归纳法有时是错误的”。提出问题：如何证明这类有关正整数的命题呢？

an1

n情境2 已知数列an的通项公式an(n25n5)2，a2、

学生分别计算a1、a3、a4的值，猜想an的值。

你的猜想正确吗？

3

教师提出问题：现在桌上立着许多骨牌,我们当然可以一块一块地把它们全部推倒,但现在只探

索

解

决

问

题

的

方

法

允许推倒一块,你有什么办法做到使它们全部

1、动手实验；

2、学生探究；

探究一：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？

倒下?如果有办法, 骨牌应怎样摆?应先去推倒哪一块?

若桌面有无数块骨牌呢？

学生通过动手做实验,得出全部骨牌倒下的两个条件

通过讨论各小组派代表发言，最后归纳出骨牌依次全部倒下的条件：（1）第一块骨牌倒下（2）假设第k块能倒下，则一定能压倒紧挨的第k＋1块牌。

1、感性体验：

2、动手实验：通过生活实例和实验调动学生的积极性，初步了解传递性，同时学生通过亲自参与探究数学归纳法的发现过程，体验了学数学的乐趣。

引导

学生

概探究二：你能类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明出刚才

“多米诺骨牌”原理

一块骨牌倒下； 帮助学生深刻的体会多米诺骨牌的原理，进而类比到数学①

若第↓

1的通项公式an 验证猜想

n猜想吗？

括, 探究三：数学归纳法的关键点

形知识升华：类比证明成

数列通项公式的方科法，我们来总结证明学

与正整数有关的数学方命题的猜想的步骤

法

①

n1验证猜想成立 ②

若第k块倒下，则使得第k+1块倒下

↓

②如果nk时，猜想成立。即ak则当1， 高学习的兴趣，调动k问题的解决，能够提ak1nk1时，学习的积极性。

1

ak1k即nk1时1k1ak11k猜想成立

4

通过本练习让学生熟师：上面两个条件分别起怎样的作用？我辩

证

认

识

，

理

解

升

华

1.用数学归纳法证明4+6+…+2n=nn-2 2悉数学归纳法证题的们能否去掉其中的一个？

两个步骤一个结论，生：辨析两个例题中的证明方法的异同、培养学生的规范表达能力，师生共同分析错误原因及改正策(1)两个步骤缺一不可，

略，进而强调：(1)(2)在证n=k+1等式也成立时，一定要用到归纳两个步骤缺一不可；假设

(2)在证n=k+1等式

也成立时，一定要用

到归纳假设。

师生共同分析错误原因及改正策略，进而强调：

2.用数学归纳法证明

对错

1352n1n

2

牛刀小试

例1、用数学归纳法证明：当n∈N时，

巩

固

认

知

结

构，

13512n1n例题与练习的设置为了让学生应用中感受引导学生探究：(1)当n=k+1时，项发生了什么变化？

数学归纳法的本质，同时注意学生在书写表达上是否规范。

分析易错点：n=k+1的证明中没有使用归纳假设，从而强化正确认知

1nn巩固练习

1.用数学归纳法证明 (2)证n=k+1等式也成立时，应如何变形？

多数学生能顺利地用数学归纳法解决该问题，可能有个别学生在n=k+1的证明中没有使用归纳假设

充

2nn2

则第一个正实

整数取值_________ 认

知

2.某个命题与正整数过

程

n=k时命题成立，那么可推得当

n=k+1 时命题也成立. 现已知当n=5时该命题不成立，那么可推（ ）

n有关，如果当 5

A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立 C．当n=4时该命题不成立D．当n=4时该命题成立

师生共同总结概括提升

1) 数学归纳法使用学生自主小结谈收获：

（1）与正整数有关的命题，可以考虑用数学归要点：

纳法证明。

两个步骤一结论，

（2）用数学归纳法证明命题的一般步骤：

1°验证n=n0（n0为命题允许的最小正整归纳奠基不可少，

数）时，命题成立

归纳假设要用到，

2°假设n=k（k≥n0）时命题成立，证明n=k+1时命题成立，

结论写明莫忘掉；

由1°和2°对任意的n≥n0, n∈N* 命题(2) 本节课所涉及到成立。

（3）证明时要特别注意第二步必须要用上归的数学思想方法有：

纳假设

递推、类比、归纳等（4）本节课充分体现了类比的思想

思想方法．

锻炼学生归纳总结的能力

教师提出后续可能会出现的问题，为进一步深入学习做铺垫，

分层作业

必做：习题2.3 A组

1.2.3 选做：(1)思考：生活中还有哪些体现数学归纳法的例子？

（如站队对齐，一排单车一个倒全部倒等）

(2)平面内有n条直线，其中任意两条不教师因材施教，不同难度的题型，让每个学生平行，任意三条不共点，设f(n)为n条直都掌握数学归纳法的解题过程，以及认识到数线的交点个数，求证：

学归纳法的适用范围很广。

1f(n)nn1

2分层作业让每个学生都学有所获。

3.证明伯努利不等式:如果x是实数,且x1,x0,n为大于1的自然数,那么有 (1x)n1nx

6

为了让学生体会数学你到过万里长城吗？源于生活，寓于生活，长城，是中华民族勤用于生活的道理，体劳智慧的象征!长城上屹立着一座座的烽火台．烽火台有什么课作用?在古代战争中，(2)看到第一个点火后，第二个必须立即后如果某一处发现了敌阅情，就要迅速地传达读

到几十里、几百里甚至几千里内的每一处，使驻军处于战备的状态．古代并没有一天会在现实世界的无线电，怎么通传呢? 现象中找到应用。

八、板书设计

2.3 数学归纳法

一、知识归纳

二、例题分析

1、

数学归纳法

例1、（教师板书）

例2、（学生板演）

证明步骤:(1)

(2)

2、注意要点：

学生利用本节课所学的相关知识分析问题，拓现新课程的应用性，宽思路：(1)第一个发现敌情的烽火台必须我设计了以上阅读—首先点火；

—利用数学归纳法解决历史问题。这一环点火；当看到第二个点火后，第三个必须节的设计也体现了俄立即点火；看到第三个点火后，第四个必国数学家罗巴切夫斯须立即点火……概括地说：就是，不论哪基说过的一句话：“任一个点了火，在它后面的那个就要立即点何一门数学分支、不火．

管它如何抽象，总有九、教学评价设计

本课主要采用实验、启发、引导、点拨的方式，创设各种问题情境，使学生带着问题去主动思考、动手操作、合作探究，进而达到对知识的“发现”和“接受”，完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。这也正好体现了荷兰数学教育家弗赖登塔尔的建构主义教学观。同时使学生感受到数学生活化、生活数学化的美好境界。

十、教学评价

成功之处：

1.充分考虑学生的认知水平，精心设计每一个教学环节，力争课堂有趣，有效。

2.注重学生思维品质的培养，充分类比，力求使知识发生的过程是自然的。

3.突出学生的主体地位，营造和谐宽松的学习氛围。

不足之处：由于时间关系，有些环节可能略显紧凑。

7