2.1.1 合情推理优秀教案内容

第五节合情推理与演绎推理

1．合情推理

(1)归纳推理：

①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．

②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理

①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．

②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．

2．演绎推理

(1)模式：三段论

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．

演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．

[试一试]

1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于________．

解析：由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则x－20＝12，因此x＝32. 答案：32 11111111111＋≥×＋，×1＋＋2．(2014·镇江期末)观察下列不等式：×1≥1×，×22332244351111＋＋，由此猜测第n个不等式为________________(n∈N*)．

≥×246311111111＋≥解析：第1个不等式为×1≥1×，即×1≥1×；第2个不等式为×223321＋12×11111＋1≥1×1＋1；

＋，即××242＋12×2－122×12×2

第3个不等式为

1111111×1＋3＋5≥×2＋4＋6，即

431111111×1＋2×2－1＋2×3－1≥×2×1＋2×2＋2×3；

33＋1…

猜测第n个不等式为11111＋＋＋…＋2n－1

n＋13511111＋＋＋…＋(n∈N*)．

≥·2nn246答案：1111111111＋＋＋…＋＋＋＋…＋≥2n

2n－1n246n＋135

1．归纳推理的一般步骤：

(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；

(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；

(3)检验猜想．

实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论

2．类比推理的一般步骤：

(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；

(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；

(3)检验猜想．

观察、比较→联想、类推→猜想新结论

[练一练]

在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．

1ShV1311S1h1111解析：＝＝S·＝×＝. V21282h24S2h23答案：1∶8 对应学生用书P90

考点一

类比推理

1.给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d

”；

③“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”；

④“若x∈R，则|x|＜1⇒－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1⇒－1＜z＜1”．

其中类比结论正确的个数为________．

解析：类比结论正确的有①②. 答案：2 2．在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c内切圆半径为r，则三角形1面积为S△ABC＝(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体

ABCD的四个面的2面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为____________”．

解析：三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，11内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中类比为三维图形中的，得V23＋S2＋S3＋S4)r. 1答案：V四面体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r

3[备课札记]

[类题通法]

类比推理的分类

类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法

(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；

(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；

(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．

考点二

归纳推理

四面体ABCD＝1(S31[典例]

(2014·镇江期末)观察下列等式：

311×＝1－2；

21×22

31411×＋×2＝1－，

1×222×323×223141511×＋×2＋×3＝1－，

1×222×323×424×23……

n＋231411由以上等式推测到一个一般结论：对于n∈N*，×＋×2＋…＋×n＝1×222×32nn＋12________. 解析：根据式子特点观察得出结论：1－符．

1答案：1－

n＋1·2n[备课札记]

[类题通法]

归纳推理的分类

常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类

(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；

(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．

[针对训练]

下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．

1，分别代入n＝1,2,3，……验证知相n＋1·2n

解析：由图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n. nn＋1∴总个数为. 2nn＋1答案：

2考点三

演绎推理

n＋2[典例]

数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：

n

Sn(1)数列n是等比数列；

(2)Sn＋1＝4an. n＋2[证明]

(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝S，

nn∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. 故Sn＋1Sn＝2·，(小前提) nn＋1Sn故n

是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知Sn＋1Sn－1＝4·(n≥2)，

n＋1n－1Sn－1n－1＋2∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1

n－1n－1＝4an(n≥2)．(小前提) 又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论) [备课札记]

[类题通法]

演绎推理的结构特点

(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．

(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

[针对训练]

如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，且DE∥BA.求证：ED＝AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．

证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)

所以DF∥EA.(结论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE∥BA且DF∥EA，(小前提) 所以四边形AFDE为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED和AF为平行四边形的对边，(小前提) 所以ED＝AF.(结论) 上面的证明可简略地写成：

∠BFD＝∠A⇒DF∥EA⇒四边形AFDE是平行四边形⇒ED＝AF. 

DE∥BA