圆的面积公式推导PPT及课堂实录内容

圆的面积公式推导教学设计

教学目标

1. 探索并掌握圆的面积公式,能正确计算圆的面积,并能应用公式解决相关的简单实际问题,构建数学模型。

2. 经历圆面积计算公式的推导过程,让学生进一步体会转化思想,感悟极限思想,增强空间观念,培养观察、分析、归纳的能力。

3. 通过操作、探究等合作学习活动,让学生感受用数学方法解决实际问题的过程,提高学习数学的兴趣,增强学好数学的信心。

教学重难点

重点:圆的面积计算公式的推导和应用。

难点:圆的面积推导过程中,极限思想(化曲为直)的理解。

教学准备

教具:多媒体课件、圆面积转化演示器。

学具:8等份、16等份的圆形纸片各1个,剪刀,圆规,直尺。

教学过程及设计意图

一、情境引入、揭示课题

师:大家看这幅图,公园草地上有一个自动旋转喷水器,它的射程是8米。从图中,你知道了哪些信息?(复习圆的特征及半径、直径)

师:这个喷水器能喷洒的面积有多大呢?

师:通过研究,我们已经知道了圆的面积是圆的半径平方的3倍多一些,那么究竟比3倍多多少呢?今天。我们继续来研究圆的面积。(揭示课题)

【设计意图:用学生生活中熟悉的情境引入(草地上的自动喷水器),让学生感受到数学来源于生活,激发学生将数学知识运用于生活,解决生活中实际问题的兴趣。通过对圆的特征的复习,为新知学习奠定知识基础。】

二、实验操作、推导公式

1. 以旧引新,迁移方法

师:我们已经学过哪些平面图形的面积计算方法?还记得面积计算公式是如何推导出来的吗?

师:我们先来回忆一下平行四边形的面积计算公式是怎么推导出来?

生:我们沿高把平行四边形切割成两部分,通过平移,把两部分拼成一个长方形。

生:长方形的长相当于平行四边形的底,长方形的宽相当于平行四边形的高,因为长方形的面积等于长乘宽,所以平行四边形的面积等于底乘高。

(课件演示平行四边形面积计算公式的推导过程。)

师:通过剪拼,我们把一个平行四边形转化成长方形,这样有什么好处呢?

生:这样就可以把没有学过的图形转化为学过的图形,就可以推导出新的图形面积计算方法。

师:对,这是我们数学学习中的一种很好的方法——转化。今天,我们继续用转化的方法来研究圆的面积。

【设计意图:引导学生回忆以前学过的平面图形的面积计算公式,着重回忆平行四边形面积公式的推导方法,引导学生发现“转化”是探究新的数学知识、解决数学问题的好方法,为学生提供探究思路,将转化法迁移到圆的面积计算方法的探究上来。】

2. 明确思路,体会转化

师:想想看,我们要把圆转化成别的平面图形,首先要怎么做才能“化曲为直”?

生:先把圆沿直径剪开,分成同样大小的两份。

师:现在还是曲线,接下来又该怎么做呢?

生:分别把两个半圆沿着半径剪开,分成同样多的份数。

(分别演示2等份、4等份、8等份,16等份,引导学生发现边越来越直)师:把圆剪成两个半圆,再分成同样多的份数以后我们可以拼一拼,看看可以拼成什么图形,然后就可以探究面积计算方法。

【设计意图:引导讨论如何“化曲为直”,通过讨论,明确操作思路:先将圆剪成两个半圆,再剪分成若干等份,然后再将两部分拼成平面图形,探究面积计算方法。】

3. 动手剪拼,体会极限

师:请用你课前准备好的探究学具(8等份、16等份圆形纸片),自己动手剪一剪,拼一拼,并把你的想法和同伴说一说。

生1:我们把圆剪成8等份,再拼成近似的平行四边形。

生2:我们把圆剪成16等份,再拼成近似的平行四边形。

师:我们来观察一下这两种方法拼成的近似平行四边形,你有什么发现?

生:16等份比8等份的更接近平行四边形。

师:还能更接近平行四边形吗?

生:分的份数再多一些。

师:让我们来看一看,把圆分成32等份、64等份后拼在的平行四边形(课件演示),你有什么发现?

生:如果我们平均分的份数足够多,就可以化曲为直,最后就可以拼成平行四边形或长方形了。

【设计意图:引导学生进行化曲为直的操作实践,将8等份或16等份的圆拿剪拼成近似的平行四边形,通过观察对比,结合课件演示,发现如果把一个圆形平均分成的份数越多,这个图形就越接近平行四边形或长方形,让学生体验“极限”思想。】

4. 深化思维,推导公式

师:我们把圆转化成了平行四边形,什么变了,什么没变?

生:形状变了,面积没有变。

师:这样就把圆的面积转化成了什么图形的面积?

生:圆的面积转化成了平行四边形的面积。

师:仔细观察剪拼成的平行四边形,看看它的各部分与圆的各部分之间有什么关系?独立思考后把你的想法在小组内交流一下。

生:我们发现平行四边形的底相当于圆周长的一半,平行四边形的的宽相当于圆的半径。

师:平行四边形的底相当于圆周长的一半,也就是C÷2=2πr÷2=πr。

师:平行四边形的高相当于圆的半径,也就是r。

师:那平行四边形的面积呢?

生:平行四边形的面积等于底乘高,也就是πr×r=πr2。

师:那么,圆面积的公式可以如何表示?

生:S=πr2。

师:上节课我们知道了圆的面积是它半径平方的3倍多一些,准确地说是它半径平方的多少倍?

生:π倍。

师:如果要计算一个圆的面积,我们必须要知道什么条件?

生:要计算一个圆的面积必须要先找到圆的半径。

【设计意图:学生通过操作实验,小组合作,把圆转化成平行四边形并推导出圆面积计算公式。让学生经历公式的推导过程,不但使学生加深对公式的理解,而且还能较好的培养学生的逻辑思维能力和推理能力,学生在探究新知的过程中体会到数形结合的魅力,品尝到学习成功的喜悦。】

三、解决问题、拓展应用

1. 填空练习

把一个圆平均分成若干份,可以拼成一个近似的平行四边形,平行四边形的底相当于圆的(),平行四边形的宽相当于圆的(),因为平行四边形的面积=底×高,所以圆的面积公式计算公式为()。

2. 解决自动旋转喷水器问题

师:你现在知道公园草地上的那个自动旋转喷水器能喷洒的面积有多大了吗?

生:圆的半径是8米,圆的面积:3.14×82=3.14×64=200.96(米2) 3. 课堂活动

师:我们来做一个小游戏,每个同学用圆规画一个圆,然后同桌交换,测量出相关数据,并计算圆的面积,为了计算方便,我们的测量数据取整厘米。

生:测量出圆的半径,就可以用公式计算出圆的面积。

【设计意图:结合本课教学目标,设计了基础练习和提高练习,强化本课重点——面积公式的推导过程。解决了课前提出的实际问题,让学生运用知识解决实际问题,体会学习的乐趣。通过游戏活动,让学生在玩中学习,增强学习的趣味性的同时提高学生的综合运用能力。】

四、全课小结、回顾反思

师:通过今天的学习你有什么收获呢?还有什么疑问?

师:同学们,转化是我们数学学习中探究新知识的一把金钥匙,如果你能用好它,一定能打开更多知识的奥秘之门。

【设计意图:通过全课总结引导学生回顾学习过程,巩固重点知识,同时关注学习方法的反思提升。不仅让学生获取知识,更重要的是渗透数学学习方法。】

板书设计

圆的面积

平行四边形面积= 底×高↓↓↓圆面积=圆周长的一半×半径

S =C÷2 ×r

S =2πr÷2 ×r

S =πr ×r

S =πr2

撰稿人:洪雅县实验小学校韩淑英