1.3 实习作业优秀课堂实录

数学必修5

解三角形应用第四课时教案

一、知识与技能

1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．二、过程与方法

1.本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型

2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解．只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点．三、情感态度与价值观

1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；

2．进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验成功的愉悦. 教学过程

导入新课

[设置情境

师

以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式．在△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为hA、hB、hC，那么它们如何用已知边和角表示？

生hA=bsinC=csinBhB=csinA=asinChC=asinB=BsinA

1ah,应用以上求出的高的公式如hA=bsinC代入，21可以推导出下面的三角形面积公式：SabsinC，大家能推出其他的几个公式吗？

211生

同理，可得SbcsinA,SacsinB

22师

根据以前学过的三角形面积公式S师

除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？

生

如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解推进新课

【例1】

在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1 cm2）（1）已知A=14.8 cm,C =23.5 cm,B（2）已知B=62.7°,C =65.8°,B =3.16 c

师

这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．

〔生口答，师书写过程〕

11acsinB，得

S=×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(cm222bcbsinC,c(2)根据正弦定理，

sinBsinCsinB11sinCsinASbcsinAb2

22sinB解：（1）应用SA = 180°-(B + C)= 180°-

1sin65.8sin51.5S3.162≈4.0(cm22sin62.7生

正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式．

练习1．在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积是________．

解析：已知两边及一边的对角解三角形时，要注意分类讨论．由正弦定理，得ABABsin B3，sin C＝＝.

sin CAC211∵AB＞AC∴C＝60°或120°.当C＝60°时，S△ABC＝AC·ABsin A＝×2×23sin 90°2211＝23；当C＝120°时，S△ABC＝AC·ABsin A＝×2×23sin 30°＝3.故△ABC的面积22为3或23.

答案：3或23

【例2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 cm2）？

AC＝sin B师

你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？

生

本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解．

〔由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结〕

解：设A=68 m,B=88 m,C=127m,根据余弦定理的推论，

c2a2b21272682882cosB2ca212768

sinB10.75322应用S=

11

acsinB,S=×68×127×0.657 8≈2 840.38(m222答：这个区域的面积是2 840.38 m2．

练习2．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．

解析：因为ABCD是圆内接四边形，所以A＋C＝π，

所以cos A＋cos C＝0，由余弦定理得：

1BD＝27，cos A＝－，

22ππ∵0＜A＜π，∴A＝，C＝，S△ABD＝23，

33S△BCD＝63.

∴四边形ABCD面积为83. 归纳：三角形面积公式

abc111S△＝aha＝absinC＝＝(a＋b＋c)r＝2R2sinAsinBsinC＝pp－ap－bp－c，

224R2其中r为△ABC内切圆半径，R为外接圆半径，p为半周长．

课堂练习

课本第21页练习第1、2题. 课堂小结

利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状．特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用．正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式．解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数．同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯．布置作业

课本第22页习题1.2第12、14、15题

[来源学科网]