1.3 实习作业教学设计及教案分析

《三角形解的个数问题（一）》

——已知“边边角”条件，探究三角形解的个数问题

授课教师：杨玮涵

指导教师：邓志斌

一、

教学内容

（一）教材分析

本节课是高中数学人教A版必修5第一章《解三角形》中第一节第二课时后的探究与发现解三角形的进一步讨论中的内容。

教材中，这部分内容放在正余弦定理之后，虽然是探究内容，但在各种资料考试中却层出不穷，学生在解决此类问题时存在很多问题。比如，在解三角形过程中，不会判断三角形解的个数，更不用说已知三角形解的个数求边或角的取值范围这种变式题。要解决这类题型，学生必须理解其中原理，要会作图分析、要对公式理解性记忆。数形结合是数学中常用的一种思想方法，可以帮助我们更好的去理解题意。

（二）教学目标分析

1、知识目标：

（1）通过具体例子，作图分析，体会判断三角形解的个数的关键点；

（2）掌握判断三角形解的个数的方法；

（3）会利用图形分析或者直接套用公式解决判断三角形解的个数的相关问题。

2、过程与方法目标：

（1）通过作图、分析、归纳，让学生完成探究过程，体会解三角形个数的本质。

（2）通过实例培养学生把图形中关键点转化成数学表达式的能力，让学生感知用图形解决问题的便捷。

（3）通过动手作图、发现问题、解决问题，感受探究过程、理解公式意义。

3.情感目标 让学生体验探究过程，培养学生思考探索解决问题的的精神。

（三）教学重点与难点：

重点：已知三角形的两边及其中一边的对角，从图形入手探究解决三角形解的个数问题。

难点：通过对三角形中已知两边和其中一边的对角画三角形的关键点的探索，归纳数学表达式且理解性记忆它；通过理解性记忆公式，解决三角形解的个数的相关问题。

二.学情分析

1、学生从小学开始就接触到三角形，初步感受了图形，但是其认知基本来源于生活实践与几何直观，对于背后的原理理解不深。初中学习了全等三角形的判定方法，学生已了解SSA（已知两边和其中一边的对角）不能作为判定三角形全等的方法；

2、学生在高中阶段必修5第一章系统地学习了正余弦定理，大部分学生可以采用正弦定理判断三角形解的个数，用正弦定理解题时，可能会发生多解或无解或一解的情况。若选择题填空题用正弦定理来解答，虽然可以但不光步骤繁琐1

且耗费时间太长，特别是若出现已知三角形解的个数，求边或角的取值范围这类变式题，学生更是苦恼。

三、教法与学法：

（一）教法：本节课采用以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式，结合多媒体辅助教学。以问题引领探究，培养动手操作、观察理解、概括归纳的能力。

（二）学法：以学生活动为主，引导学生既要独立思考也要合作交流，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。

四、教学过程：

（一）创设情景，初步感知

教师：在前几节课学习了正余弦定理后，许多同学为判断三角形解的个数问题而烦恼。这节课我们就来解决这一个问题。

1、正弦定理： 2、以下∆ABC中，满足条件的三角形的解有几个？

（1） b = 20, A = 60, a = ; 203（2） b = 20, A = 60, a = ; 103（3） b = 20, A = 60, a = 15 。

设计意图：复习旧知，学生刚学习完正余弦定理，他们会用相关知识去判定三角形解的个数，通过做题学生发现步骤繁琐，且在做题中不能解决已知三角形解的个数求边或角取值范围这种变式题，从而导入教授这节课的意思所在。

教师：当三角形已知两边和其中一边的对角时，三角形可能无解，有一解，两解。课前同学们完成了导学案，这是我从你们中随便拿的几份（投影），对于复习回顾第二题判断三角形解的个数，很多同学都是用正弦定理求出角B,再根据题意，结合大边对大角，求出角B的度数，（1）、（2）小问角B只有一种情况，则三角形有一个解，（3）小问sinB>1,不满足题意，三角形无解。这样做虽然可以，同学们也发现步骤太繁琐了，解选择题填空题就太费时间，（PPT展示）而且针对变式练习这种已知三角形的解的个数，求已知角的对边的取值范围这种题，就不太好操作。那可以采用其他方法吗？

学生：可能会回答初中学习判定全等三角形时的方法

教师：引导到画图解决，解三角形一般从两方面入手，要么从量入手，比如用正弦定理，要么从形入手，通过图形来解题。下面，我们来画三角形。

学生先画，出现问题，教师板书关键点。

板书：在△ABC中已知边a,b和角A,判断三角形解的个数。

作图：

边作图边口述：已知两边和其中一边的对角，先作角A，再画边，由于对边a的2

位置不确定，则先作邻边b，此时则确定了C点，△ABC中确定了A、C两点，再确定B点，则三角形搞定。怎样确定B点呢，因为a边长度是确定的，我们可以以C为圆心，a边长为半径画弧，若弧与角A的另一边没有交点则不能作出三角形；若弧与角A的另一边有一个交点则可以作出一个三角形，此时有一解；若弧与角A的另一边有两个交点则可以作出两个三角形，此时有两解。下面请同学们根据这个思路用作图法完成复习回顾第二题。

（二）探究新知

判断三角形解的个数

1、作图，看能否快速解决复习回顾第2题。

以下∆ABC中，满足条件的三角形的解有几个？

（1） b = 20, A = 60, a = ; 203（2） b = 20, A = 60, a = ; 103（3） b = 20, A = 60, a = 15 。

巡视, 学生可能因为数据较大，出现画不出图的困境。

教师：当学生提出疑问，教师引导是否可以作出简图，根据题上数据，估计交点个数？设问弧与角A另外一边是否相交，是根据什么来判断的？引导到关键点在于比较垂线段和已知角对边的大小比较。点C到角A另一边的线段中，垂线段最短。（作出垂线段）如果边a的长度比垂线段短，能不能有交点？若边a长度等于垂线段长度，则刚好有一个交点。若边a长度大于垂线段长度，则有两个交点。那弄清楚了，实际上就是比较已知角的对边和垂线段的长度，从而确定交点个数。

现在，同学们应该可以解决复习回顾第二题了。请同学们继续做。稍后请几位同学上来分享一下自己的解题过程。

学生：展示解题过程。

教师：总结。由此我们发现，交点个数不仅与垂线段和已知角对边长度有关，还和已知角邻边有关。三者大小都要考虑。

设计意图：那么我会引导从图形去理解，求解三角形，让学生体会数形结合的思想。通过学生自己作图，发现我给的例题数据太大没法直接作图，我又会引导他们去发现能否作出简图？让他们体会发现问题，解决问题的过程。也让他们对三角形解的个数问题可转化作可作出三角形的个数问题又转化为线段大小比较问题有深刻认识。

现在请同学们纠正自己做的这个题，完成以后就作变式练习，经过刚才的探究，3

像变式这种已知三角形解的个数，求已知角对边的取值范围，应该可以解决了，

小组间相互讨论，稍后派小组代表上来分享小组的讨论成果。

2、变式练习

在∆ABC中，若A=30°，边c=4, (1)若三角形有两个解，求边a的取值范围。

(2)若三角形有一个解，求边a的取值范围。

(3)若三角形无解，求边a的取值范围。

设计意图：通过刚才的探索得到的感悟去解决已知三角形解的个数求边的取值范围这类题。

学生激烈讨论。

3分钟后，

教师：哪个小组上来分享一下你们的讨论成果？

学生：展示小组讨论成果。

教师：我们发现三角形的解的个数，其实可以转化为已知角的邻边，已知角的对边，垂线段，这三者间的大小关系。下面我们不告诉具体数据，将它一般化，同学们来归纳一下，当已知角为锐角时，告诉邻边和三角形的解的个数，已知角的对边需要满足怎样的条件？2分钟的时间自己归纳一下，稍后抽同学回答。2分钟后，哪位同学来归纳一下？

3、归纳总结

在∆ABC中，若已知角A（角A为锐角），边b，

(1)若三角形有两个解，求边a的取值范围为：________________________________． (2)若三角形有一个解，求边a的取值范围为：________________________________． (3)若三角形无解，求边a的取值范围为：________________________________．

学生：归纳。

设计意图：通过解决一般性结论，让学生体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳概括的能力。

教师：口述注意事项：1、这里垂线段怎样求的？放在直角三角形中根据正弦定理求出，2、这里我们根据图形总结出表达式后，不能死记硬背，要理解记忆，当已知角的对边小于垂线段，则无解；当已知角的对边等于垂线段或者已知角的对边大于等于邻边，此时有一解；当已知角的对边比垂线段长且比已知角的邻边4

短，则有两解。理解记忆后，现在我们可以快速解决巩固练习第一题。

（三）巩固练习

1、请快速判断满足下列条件的三角形的个数: (1) b = 11, a = 20, B = 30o (2) a = 2, b = 6, A = 30o

(3) c = 54, b = 39, C = 120o

(4) b = 26, c = 15, C = 90o

做完后你有什么发现？_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 教师：请同学们马上完成，看谁又快又准确。做完的同学请举手。当举手人数较多时，PPT展示（1）（2）小问的结果，并口述:已知角 B = 30o 先求出垂线段=B角的邻边·B角的正弦=20·sin30°=10，已知角对边b的大小在垂线段和邻边之间，根据刚才我们所学的，可以马上得到有两解的结论；第2小问，垂线段等于3，比已知角对边大，则无解。

第3小问已知角是钝角，怎么办呢？哪位同学能讲解一下你的做法？

学生：讲解。

教师：PPT展示图，分析：已知角为钝角，在三角形中，当对边大于邻边，则可以作出一个三角形，此时有一解，当对边小于等于邻边时，则没法作出三角形，此时无解。而当已知角为直角时，和钝角的情况一样，只有两种情况，对边比邻边大，有一解；对边小于等于邻边，无解。则我们可以马上判断第4小题，对边15<邻边26，无解。

设计意图：第1、2小问是巩固学生对公式的理解，第3、4小问为了巩固学生的探究能力，进一步提高学生分析、解决问题的能力，同时为总结当已知角为钝角、直角时三角形的解的个数做准备。

2、在ABC中，A60，a6，b3，则ABC解的情况（

）

（A）无解

（B）有一解

（C）有两解

（D）不能确定

3，它和3教师：接下来马上看第2题，已知角为锐角，快速计算垂线段为

2 6谁大？垂线段长，则无解。

3．已知△ABC中，a,b,c分别为∠A, ∠B, ∠C的对边，∠B= 60°, b=2，a=x，如c有两组解，则x的取值范围是 ．

教师：第三题，已知有两组解，则已知角的对边的大小在垂线段和邻边之间，即xsin60°＜2＜x，算出得2＜x＜

43。

35

4.在⊿ABC中，若AB=22，BC=2，且⊿ABC有两解，则A的范围是（ ）

 A．(0,)

B．(,)

C．(0,)

D．(,)

324234

教师：第4题，加大难度，已知两边和三角形解的个数，求角的取值范围？请同学们思考一下，稍后请同学给大家分享自己的解题过程。

2分钟后，

学生：讲解

教师：PPT展示答案，口述：今天的内容就到这里，请同学们花几分钟时间互相交流一下这节课的收获，稍后请同学来分享一下。

设计意图：第一题（1）（2）小问的快问快答，让学生巩固公式同时体会到可以快速解决判断三角形解的个数问题的快感。（3）（4）小问的设置，为了让学生解决并归纳当已知角为钝角和直角时怎样判断三角形解的个数。那么我会引导还是从图形去探究。第2、3题是为了巩固判断三角形解的个数以及已知解的个数求边的取值范围这类题。第4题为提高题，需要学生灵活应用这节课知识和三角函数的知识。

（四）学习反思：

你有何收获和体会？还有何疑问？

学生：谈收获

设计意图：引导学生从知识重点和难点总结，从技能与方法上总结，从数学思想上总结。

教师：大家知道为什么已知两边和其中一边的对角，三角形的解的个数不确定吗？其实初中我们判定三角形全等时，就学过已知SSA（两边及一边对角）不能作为判定三角形全等的方法，所以三角形中已知SSA的6

条件，即已知两边和其中一边的对角的大小，解的个数不一定是唯一的。

（五）课后作业

1、请完成练习册第2页；

2、探究：判断三角形解的个数的其他方法。

设计意图：作业的布置采取分层作业，分为必做题，目的是让学生巩固和加强对几何概型的理解与应用，为后继的学习打好基础；探究题，让学有余力的学生课后思考。设置分层作业目的在于巩固概念落实基础的同时，使不同层次的学生都有所收获。

五、教学反思：

本节课我以引导探究为主的教学方法，设置导学案，利用多媒体辅助教学。引导学生动手操作、交流讨论、展示、相互点评等方式，让每一个学生充分地参与到学习活动中来，让每个学生都有收获。不足之处：因为时间关系，1、这节课，判断三角形解的个数问题的几种方法并没有归纳，我就将它作为探究题让他们自己去做；2、学生第一次录课，比较紧张，有少许口误

。

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