阅读与思考 海伦和秦九韶特级教师教学实录

人教A版

高一数学

必修5 第一章

解三角形

§1.1.2余弦定理

一、三维目标

知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。[来

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、教学重难点

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用

难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用

三、学法指导

首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角

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四、知识链接

1.在Rt中，勾股定理为c2=a2+b2

2.平面向量数量积（内积）的定义: 已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab

= |a||b|cos

五、学习过程

问题1.联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决上述这个问题？(推导证明) 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即________________________; ________________________; ____________________________.

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[理解定理]

问题2.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即:余弦定理推论：_______________________; __________________________;__________________________. 注：余弦定理揭示了三角形的两条边与其中一个角的关系。

问题3.上述式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

问题4.余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的三条边就可以求出三个角;②已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边

问题5.勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

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典例分析

类型一：已知三边求角

例1、在ABC中，已知a6,b8,c213，求角C。

类型二：已知三角形的任意两边及它们的夹角求第三边

例2、在ABC中，已知a22，c2，B=600,解此三角形。

【针对性练习】ABC中，a=2,b=3,C= 75o，求c

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六、课后自测小练习

1、如果在ABC中，a3，b7，c2，那么B等于：（

）

2A．6

B．4

C．3

D．3

2、△ABC 中，B60,b76,a14，求A。

3、在ABC中，若a2b2c2bc，求角A。

4、已知△ABC中，a3，b2，c622，求A 。

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5、在△ABC中，已知sinA:sinB:sinC6:5:4，求cosA。

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