阅读与思考 九连环教学实录与评析

《探究与发现：购房中的数学》教学设计

宜昌一中数学组

李智

一、教学分析

1．教学内容分析

《购房中的数学》是人教A版必修第二章《数列》，章末“探究与发现”实践活动课，本节课借助居民购房的实例，运用数列知识求解分期付款模型。

本节课旨在运用数列知识解决简单的实际问题，在知识上起到了承上启下的作用，既是对本章知识的回顾与延伸，更是为进入大学后研究一阶线性递推数列相关性质做铺垫。

2014年4月，教育部印发《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，提出通过高中数学课程培养学生六大数学核心素养，数学建模是核心素养的重要一环。本节课是数学建模能力培养的重要历程，数学建模是核心能力，社会实践是载体，迈出了数学建模核心素养培养的重要一步。新课标提出通过高中数学的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出现实问题，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学基本活动经验，认识数学在科学、社会、和工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达数学问题，用数学方法构建数学模型解决问题的素养，本课正式按照这样的要求与线索展开。

2．课程标准分析

《普通高中数学课程标准（2011年版）》要求：

（1）能在具体的问题情境中发现数列的等差、等比关系，能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题；

（2）能有意识地运用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，通过数学抽象建立数学模型以解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。

3．教学目标分析

根据教材内容及课程标准的分析，本节课的教学目标确定为：

（1）通过查阅资料，走访房地产商和银行，了解购房及还贷相关概念，如：商品房、商业贷款、公积金贷款、等额本金还款和等额本息还款的定义、区别和利弊等；

（2）通过自主探究，能熟练从实际情境中抽象简单数列模型，发现数列的等差关系；通过合作探究，能初步从实际情境中抽象出一阶线性递推数列模型；通过数列模型的建立，了解数学问题解决和数学建模的一般过程，能熟练运用数列知识求解模型；

（3）通过经历实际问题情境的数学抽象，能有意识地用数学语言描述实际问题，抽象数学模型；通过感受数学模型对实际问题的指导，以数学模型求解结果为依据做决策，培养运用数学模型解决实际问题的意识，体会数学在生活中的应用；

（4）通过实践探究和小组合作，能够在参与、推动、领导小组合作探究，积累数学活动经验，培养数学交流能力及合作意识。

4．教学重点分析

依据以上教学目标分析，我确定本节课的教学重点为：构建等额本息还款方案，根据模型求解结果推荐合适方案。

5．学情分析

（1）购房问题是社会热点问题，学生学习动机较强，但因社会经验不足，关于购房的有关概念虽有耳闻，但并不能准确把握，教师应使学生走出课堂，回归实际，通过实践活动理解相关概念；

（2）学生当前抽象实际问题，建立数学模型解决问题的经验不足，能力有所欠缺，在模型建立过程中，尤其构建一阶线性递推数列模型刻画等额本息还款方案时，教师需帮助搭建脚手架；

（3）学生已熟练掌握数列的基本概念，等差、等比数列的定义、通项公式和求和公式，初步具备在实际问题中抽象数列模型的意识，求解模型能力较强；

（4）学生运用数学模型求解结果解决实际问题时，由于社会经验匮乏，学科知识综合应用意识较弱，需提供阅读材料，启发学生多角度看问题，权衡利弊，实现决策优化。

6．教学难点分析

根据学情分析，学生对于一阶线性递推数列模型较生疏，且建模能力较弱，因此本节课的教学难点为构建一阶线性递推数列模型刻画等额本息还款方案。

二、教学设计

本节课采用课外实践与课内探究相结合的方式，学生课前开展社会实践，从现实层面理解课题背景，教师在课堂引导学生自主、合作探究，通过数学建模，运用数列知识解决分期还款问题，将学生主观能动性最大化，教师在整个探究活动中是组织者，引导者，学生是调研者、探究者、决策者，是这个探究活动的主体。

在处理本节课的难点“构建一阶线性递推数列模型刻画等额本息还款方案”时，教师根据学生当前能力水平和最近发展区，设置一系列问题，为学生搭建脚手架，引导学生分析问题寻找关键变量和等量关系，并学会利用表格研究实际问题，建立模型，从而突破难点。

本节课落脚于利用数学模型求解结果，结合相关资料，优化决策。因学生社会经验的欠缺，教师需提供阅读材料，帮助学生了解现实生活中解决问题不仅仅需要考虑数学因素，还有许多角度需要考量。

三、教学过程

1．实践探究，成果汇报

4月29日，智禧湾8号楼火爆认筹。毗邻一中是智禧湾开盘以来持续走火，房价不断升温的重要原因。

张女士日前在智禧湾购买了一套房产，鉴于家庭经济状况，张女士决定首付后，通过银行贷款分期支付剩余房款。银行为张女士提供了等额本金和等额本息两种还款方案，为了科学地选择更适合自己的还款方式，张女士委托1713班的同学们帮她计算两种还款方案，并根据其家庭情况为她推荐更适合的还款方案。

上周末，本班特派小组已与张女士进行面谈，并赴银行针对两种还款方案进行调研，下面由特派小组为大家汇报调研成果：

（1）委托人信息

了解委托人基本情况后，特派小组整理出如下信息采集表：

委托人基本信息采集表

姓

名

家庭住址

姓

名

家庭成员

张** 王** 王** 当前存款

购房信息

户型

单价

贷款总额

贷款类型

商业贷款

张**

女士

出生年月

1985.11 联系电话

136****7101 宜昌市西陵区******** 工作/学习单位

楚天超市

楚天超市

得胜街小学

23万元

单位性质

个体户

个体户

当前不动产

已购商品房一套

1万元

月平均收入

智禧湾8号楼A1户型19层（面积：90

）

8100元/

总价

500000元

还款年限

30年

729000元

贷款信息

（2）贷款方案

特派小组走访银行，针对两种还款方案进行咨询，并借助网络资源调研后，特派小组整理出如下信息：

【贷款类型及利率】

经了解，张女士只能采用商业贷款进行还款，商业贷款年利率为4.9%，月利率为r【等额本金还款法】

贷款人将本金分摊到每个月内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。每月还款额分成本金部分和利息部分，其中：

本金部分

= 贷款本金÷贷款期数

利息部分

=（贷款本金-已还贷款本金）×期利率

等额本金还款的特点是利随本清，随着利息不断减少，还款额也随之递减。

【等额本息还款法】

贷款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算。

等额本息还款因每月还款额固定，还款过程中随着贷款本金的减少，利息4.9%

12递减，从而在每月还款额中利息比例逐月递减，本金比例逐月递增。两种还款法的特征如右图。

（3）还款方案

根据以上信息，特派小组建立数学模型，对还款方案进行研究。为方便研究，首先将变量代数化：

贷款总额A500000元；还款期数m360期；月利率r【等额本金还款法】

每月还款金额=本金部分+利息部分=贷款总额还款期数4.9%

12+上次交易日贷款本金余额月利率

本金部分和月利率为定值，因每月归还贷款本金为定制，故交易日贷款本金余额成一个递减的等差数列，从而我们可以用等差数列模型来研究等额本金还款法：

设第n个交易日的贷款本金余额为An，其中首付日为第一个交易日，则数列An首项为A1A，公差d故：

A，mAAnAn1

m从第2个交易日开始还款，设第n个交易日的还款金额为an2n361,nN*，则数列a的通项公式为：

nanAAAAn1rAn2r

mmm则数列an也为等差数列，从而还款总额为

m1Sa2a3a361A1r

2代值计算可得，等额本金还款法第n个交易日还款额为

an5.67n3441.902n361,nN*

还款总额S868520.83；利息总额LSA368520.83。

设计意图

《购房中的数学》这一课题极具生活气息，只有从身边的实际情境出发，让学生回归到生活中去理解课题中的一些实际问题的背景、常用概念的定义，才能真正体现这一课题的价值，学生真能真正意义上的体会数学在生活中的运用，积累基本活动经验，提高问题解决能力。

学生当前已经具备从实际情境中抽象简单等差、等比数列模型的能力，能够自行用等差数列模型刻画等额本息还款法。等额本金还款已经在学生能力范畴内，而非最近发展区，不是本节课的重点内容，采用学生自主探究、分享的形式，将学习和课堂还给学生，促进其自主学习、终身发展的意识与能力。

2．合作探究，建模求解

【等额本息还款法】

由于能力局限，特派小组暂时无法独立建立等额本息还款法的数学模型，希望求助老师和同学们一起探讨建模求解。回顾等额本息还款法的特征，每月还款额为定值，则还款额中本金部分比例递增，利息部分比例递减，请思考如下问题：

（1）能否类比等额本金还款模型，分别研究等额本息还款方案中的本金和利息部分？

答：不能，本金和利息都在变动，且无法找到其变化规律。

（2）解决数学问题时，常从不变量着手研究，在本问题中不变量是什么？能否由此建立等量关系进行求解？

答：本问题中不变量为每期还款额，不妨设为X，可以研究每期还款额与每期还款后剩余欠款的关系，经过360次还款后，剩余欠款为0元，由此可建立方程求解X. （3）设第n次还款后剩余欠款为Bn，如何研究数列Bn的性质？

答：目前我们能够借助数列的等差关系、等比关系或递推关系来研究数列性质，此问题中Bn各项间存在递推关系，我们可以借助一个表格来研究。

（4）填写下列表格

期数

1 2 3 本期欠款

每月还款

本期还款后欠款总额

A1r

B11r

B21r

B31r

B41r

X

X

X

X

X

B1A1rX

B2B11rXA1rX1rX

B3B21rXA1rX1rX1rX

BnBn11rXA1rX1rB360A1r360nn1322n

360 X1rX

X1r359X1rX

可以发现

BnBn11rX

数列中像这样的递推关系称为一阶线性递推关系，Bn称为一阶线性递推数列，也是一类重要的数列模型，大家在课外进行延伸学习，本节课的重心在求解模型，不做赘述。

由迭代可得：

BnA1rX1r由B3600得：

nn1X1rX

XA1r36035911r1r'Ar1r3601r3601

代值得：每月还款额X2653.63元，还款总额为S

设计意图

mX955306.80元，L'S'A455306.80元。

学生理解数列递推关系的概念，接触过数列的简单递推关系，能够根据一阶线性关系解答简单问题，但无法自主建立一阶线性递推数列模型刻画、解决实际问题，属于学生最近发展区范畴，是本节课的重点和难点。

教师通过三个问题和一张表格帮助学生搭架脚手架，三个问题循序渐进，根据本情境特征和以往解决数学问题的经验找到解决问题的突破口是从定量（每月还款额）出发寻找每期欠款间的递推关系，从而实现模型构建与求解。最后学生讨论、探究，填写表格，自主建立一阶线性地推模型解决问题。

教师是课堂的引导者，学生才是课堂的主体。在本环节，教师引导十分关键，但这并不能代替学生的主体地位，在恰当设问，搭建脚手架后，将课堂交还给学生，使学生自己完成最近发展区的过渡，真正形成自己掌握的能力，而非教师灌输的知识点。

3．全面解读，建言献策

将两种还款方案汇总如下：

每期还款

还款总额

利息总额

等额本金还款

等额本息还款

5.67n3441.902n361,nN*

2653.63

955306.80

455306.80

868520.83

368520.83

请你根据两种还款方案，结合张女士家庭情况及有关知识，向张女士推荐合适方案。老师为大家收集了如下四则参考材料，大家也可以去网页上搜索相关材料。（材料见学案）

等额本金还款

等额本息还款

推荐理由

作为谏言者，最重要的是提供多方位视角，给出科学、客观依据，最后的决策我们交给张女士来做吧。

设计意图

本节课落脚于解决实际问题，数学模型是解决实际问题的关键依据，但也只是依据之一，解决实际问题需要多角度、多方位思考。学生社会经验不足，故教师提供了四则阅读材料，帮助其拓宽视角，全方位思考问题，做出恰当决策。

本环节的设计目的在于培养学生以科学和知识为依据解决实际问题的意识和科学素养，这在当今信息爆炸的大数据时代十分必要。同时使学生意识到数学是解决问题的关键要素，但并不是唯一要素，我们需要更多的自然科学和社会科学知识帮助我们解决问题、做出决策，认识到知识的实用性，认识到全面发展的重要性。

4．创新产品，科技展望

（1）创新产品：房贷计算器

通过本次探究，我们用等差数列模型和一阶线性递推数列模型分别刻画了等额本金和等额本息还款方案，掌握了两种还款方案的计算原理。如果将模型求解结果用程序语言实现，那么我们只要输入贷款本金A，还款期数m，和利息r，即可求解还款方案，事实上我们已经完成了房贷计算器的初始开发。我们回到平板电脑的主界面，打开房贷计算器，输入贷款50万元，分30年还清，选择商业贷款类型，即可求解还款模型，可以发现计算结果与我们刚刚的计算结果是相同的。

（2）科技展望：数学是当代科技的核心技术

当今信息时代，技术极大地便利了人们的生活，市面上许多科技产品的背后都离不开数学作为核心技术的支持。日前中兴因美国停止向其出售芯片陷入危机，使得中国创造这一话题再次本推到风口浪尖，核心技术的自主研发迫在眉睫。相较之下，中兴的竞争对手华为在自主研发方面做的更好，源于华为对数学的重视。早在1999年，华为开始在世界范围内建立数学研究所，2012年华为总裁任正非提出，当前物理方法解决问题已趋于饱和，要重视数学方法的突起。此前华为就是利用非线性数学空间解决了GSM多载波干扰这一难题，在通讯行业达到世界领先水平。而华为当前技术仍停留在工程科学层面，华为在数学道路上继续探索，我们也要扎实数学基础，日后为中国创造献出一份力量。

设计意图

这一环节使整个课题升华。数学不仅在实际生活中应用广泛，在科学、工程技术、社会各行各业都起着至关重要得作用。尤其是在当前通讯行业，经常是基础数学研究提供了尖端技术和关键问题的解决思路。借由中兴“芯片”危机热点问题，激励学生扎实数学基础，将来为中国创造献出一份力量。

四、板书设计

购房中的数学

建模求解：等额本息还款法

设每月还款额为X，第n次还款后剩余欠款为B，则

n建言献策

等额本金还款

等额本息还款

BnBn11rXn

n1推X1rXBnA1rX1r

荐理由

由B3600得：

XA1r36035911r1rAr1r3601r360

1

五、教学设计说明

本节课是《探究与发现：购房中的数学》探究活动的缩影，是本次探究活动中最具“数学味”的内容的体现。

本节课保留了实践活动的完整性，通过特派小组调研成果汇报简单展示活动前期的大量基础工作及简单模型的建立与求解，将课堂重心放在本次探究活动中的难点也是本节课的难点：等额本息还款方式的建模与求解，最后根据模型求解结果和参考材料，给出建议，达成本次实践活动的目标。本课题以实践活动的形式将课堂延伸到了课前与课后，课前进行调研与自主探究，课后撰写结题报告，最大程度上调动了学生的主观能动性，真正做到学生是课堂的主体，更是实践活动中的主体，经历了实践活动全过程，尤其是是数学建模过程，积累了数学基本活动经验，全方位培养了学生利用数学知识解决实际问题的基本能力及“实践检验真理”的科学素养。

因理论知识和社会经验的缺失，本课的难点在于构建一阶线性递推数列模型刻画等额本息还款方案，教师根据学生当前能力水平和最近发展区，设置一系列问题，为学生搭建脚手架，引导学生分析问题寻找关键变量和等量关系，并学会利用表格研究实际问题，建立模型，从而突破难点。

本课落脚于现实问题的解决，保证了实践活动的完整性，强化学生应用数学知识分析、解决实际问题的意识和能力，这是大数据时代数学课程的重要使命，是数学课最应该教给学生的能力。

鉴于此，借本课题，教师指出，数学原理是当前许多产品的核心技术，并以中兴与华为为例，介绍当前数学在科技中的应用之广泛与重要，鼓励学生扎实数学基础，将来为中国创造献出一份力。

附件：阅读材料

【材料一】

家庭收入分配参考

对于家庭经济收入的分配，国内外经济学家提供了参考标准：家庭收入的30%用于还用于偿还购房贷款，30%用于投资储蓄，20%用于子女教育，20%用于日常开销。因此，偿还房贷的金额占家庭总收入的20%~30%为宜。

【材料二

】等额本金和等额本息的适合人群

等额本金还款法因为在前期还款额度较大，而后逐月递减，所以比较适合前期还款能力较强的人群，如个体户、年纪稍大的人群。

等额本息每月还款额度相同所以比较适合有正常开支计划的家庭，如工薪阶层，尤其年轻的工薪阶层，这类人如果选择本金法的话，

前期还款压力会非常大。

【材料三】

等额本金和等额本息的利弊

等额本金贷款采用简单利率计算利息，只对只对每期剩余本金计息，而等额本息则采用复合利率计算，即对每期欠款余额（包含剩余本金和剩余利息）计息，也就是说未付的利息也要计息，相当于“利滚利”。在国外，它是公认的适合放贷人利益的贷款方式。（右图：以贷款100万20年还清为例）

【材料四】

考虑货币的时间价值

单纯的还款计算似乎没有考虑通货膨胀的因素，我来举个例子，10年前我的领导房贷30万，在我所在的城市这是一笔巨款，可以买最好的房子，每个月的还款几乎占用了他全家的工资，10年后，因为利率上涨了，每个月的还款比十年前还多了些，但是还款基本相当于他的零花钱，他采用了等额本息的还款方式。

购房者在选择还贷方式时应考虑资金的时间价值，如：投资收益与贷款利率的关系，以及通货膨胀因素都应该纳入考量范围。

（来源：知乎；作者：常春蕾；著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。）

【网站链接】

等额本金与等额本息的区别、利弊及适合人群：

http://esf.xian.fang.com/zt/201505/xadkfs.html

等额本息与等额本金，从财务管理的角度充分考虑货币时间价值，哪个对于购房人来说更划算？

https://www.zhihu.com/question/21745865