3.1.2 复数的几何意义教学目标

人教A版2003课标版

选修1－2 3.1.2《复数的几何意义》

福建省邵武第四中学 肖正华

一、教学目标：

1.知识目标：理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。

2.能力目标：渗透类比转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力。

3.情感目标：引导学生类比联想、数形思维，培养良好的学习思维品质。

二、教学重点：

复数与复平面内点的对应及复数模的几何意义。

三、教学难点：

复数与向量的关系，复数模的几何意义。 四、教学方法：

问题启发、类比教学。

五、设计说明：

实数与数轴上的点一一对应，实数的绝对值表示数轴上对应该数的点与原点的距离。类比实数的几何意义，复数与复平面内的点一一对应，复数的模（绝对值）表示复平面内对应该复数的点与原点的距离。通过类比转化、数形结合等数学思想方法，使学生多方位认识、理解复数的几何意义，进而突破重难点。

六、教学过程：

教学进程

一、

问题情景

回忆旧知，吸引学生的注意力，揭示确定一个复数件时，这两个复数相等？

的条件，为新课的传授作必要的铺垫。

以学生熟悉的知识为载体，采用类比的方法，引导学生对比思考，拓展思维宽度，活跃课堂气氛。

设计意图

问题1：

对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈R)，你认为满足什么条问题2：

若把a,b看成有序实数对（a,b），则（a,b）与复数a+bi是怎样的对应关系？有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？ 问题3：

类比实数能否找到用来表示复数的几何模型？

二、数学建构

1.复平面的概念

把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y

轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚

数。

y

Z=a+bi b

Z(a,b)

oax

2.复数的几何意义

复数a+bi，即点Z（a,b）（复数的几何形式）、即向量OZ（复数的

向量形式。以O为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。）

三者的关系如下：

复平面

面向全体学生，巩固概复数

平面向量

内的点

zabi念，体会数形结合思想，重Z（a,b）

OZ

视一题多变，较全面地理解[巩固练习] （1）在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：

复数、复平面内的点、始点为原点的向量三者的关系。

4， 2－i， -1+3i， 3+2i， -2i

（2）“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)为绝虚数”的（ ）。

(A)必要不充分条件 (B)充要条件

(C)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

（3）“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。

(A)必要不充分条件 (B)充要条件

(C)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

（4）复平面内，表示一对共轭复数的两个点具有怎样的位置关系？

阐明复数与实数的联系和区别，实数能比较大小，虚数不能比较大小，是实数的复数能比较大小，能比较大小的复数只能是实数。复数可看作是向量变式：第二象限的点表示的复数有何特征？

问题4：实数可以比较大小，任意两个复数可以比较大小吗？

3.复数的模（绝对值）

向量OZ的模叫做复数Z=a+bi的模（或绝对值），记作Z或abi。OZ，向量不能比较大小，从而引出复数的模（绝对如果b=0，那么Z=a+bi就是实数a，它的模等于a（即实数a的绝对值）。

但向量的模可以比较大小，Z=abi=a2b2

[巩固练习] （1）已知复数Z1=4－3i，Z2=-1+5i，试比较它们模的大小。

（2）若复数Z=3a-4ai(a<0)，则其模长为 。

值）。

通过练习，使学生明确复数的模（或绝对值），即点Z到复平面原点的距离，会求复数的模。

（3）（4）中利用计算机动画，体会数形结合思想，加深数与形的相互转化。

培养学生的类比猜想能力，逐步形成“观察——类比—

—猜想——质疑——验证——应用”获取知识的手段x 和方法，提高学生分析问题、解决问题的能力。

拓展与延伸：

（3）满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？

（4）设Z∈C，满足2

（学生讨论，动手实践并证明）

O Z2

Z

Z1

4.复数加法、减法的几何意义

设向量OZ1，OZ2分别与复数a+bi，c+di对应，且OZ1，OZ2不共线，以OZ1，OZ2为两条邻边画平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ所表示的向量OZ就是复数（a+c）+(b+d)i对应的向量。（平行四边形法则）

根据复数减法的定义和复数加法的几何意义，可以得到复数减法的几何意义。（三角形法则，过O作与其相等的向量）

0 Z x Z1

y Z2

从代数法和向量法分别阐释复数模的几何意义，多角度让学生理解两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点之间的距离，进而突破教学难点。

例1训练学生对复数几设Z1=a+bi，Z2=c+di，则Z1-Z2=（a-c）+（b-d）i 故Z1Z2Z2Z1(ac)2(bd)2

表明：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点之间的距离。

三、数学应用

例1

已知复数z=(m2m6)(m2m2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。

变式：证明对一切实数m，此复数z所对应的点不可能位于第四象限

（解不等式组；解不等式组无解）

(几何问题) （代数问题）

数学思想：数形结合、转化思想

表示复数的点所

在象限的问题

相互转化

实部与虚部所满足的不等式组的问题

何意义的运用，渗透数形转化思想，培养学生严谨的思维品质，有利于学生对复数几何意义的理解。

例2 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么？

（1） |z-1+i|=3

（2）|z-1-i|=|z+2+i| （3）|z+i|+|z-i|=3 （4）｜|z+2|-|z-2|｜=1

在理解复数有关几何意义的基础上，将其推广到用复数研究解析几何某些曲线等问题，使学生进一步体会复数几何意义的重要性，认识到复数与其它数学内容之间的联系。

根据课堂学生的反应，延伸：

（1）若把（1）中的等号改为<、>呢？

来不及讲的（2）已知，复数Z1=3+4i，复数Z满足ZZ12，求Z的最值。

控制上课节奏；

四、回顾反思

1.请同学们谈谈对复数几何意义的认识。

2.实数的绝对值与复数模的几何意义；

3.体会数形结合思想，加强复数与其它数学内容的联系，了解平面曲线的复数表示。

五、作业

1.课本P106第4.5.6题；

2.若复数Z满足｜z-i|≤2(i为虚数单位)，则Z在复平面内所对应的图形面积是？

3.复数Z1=1+i，复数Z满足ZZ12，求｜Z-2i|的最值。

4.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，那么|z+i -1|的最小值是___________ 。 5.复平面上, Z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i (a∈R)求复数z对应点的轨迹方程。

话，可将它作为课后思考题；重视一题多解，一题多变，感受数形结合的美妙。

回顾、反思知识、技巧及重要的数学思想方法，为学生的后续学习奠定基础提高他们的认识水平。