认识数轴教学设计与反思

数轴概念的教学

一、内容及其解析

1．内容

数轴的概念，用数轴上的点表示数。

2．内容解析

显然，数轴是数形结合思想的产物。这是把数和形统一起来的第一次尝试。在这一思想的指引下，数的概念和运算可以与位置、方向、距离等统一起来，它使数的语言得到了几何解释，数有了直观意义，不仅有助于数的概念的理解，而且还可以从中得到启发而提出新的问题或结论（例如，相反数、绝对值等）。由此“一维坐标系”推广到二维坐标系（如平面直角坐标系，由两条原点相同、互相垂直的数轴构成），使平面内的点和有序实数对建立一一对应，借助坐标系，一个几何对象被数（坐标）所完全刻画，几何概念可以表示为代数的形式，几何目标可以通过代数方法来达到；反过来，代数语言就有了几何意义，我们可以从中得到启发而提出新的问题。

用数轴上的点表示实数，就是要使任意一个实数能用唯一确定的点表示，同时，任意一个点只能表示一个实数。这样要求的意义需要学生逐渐体会。在这样的要求下，明确规定原点、方向和单位长度“三要素”是必须而且自然的。这时，我们有

原点0（原点是区分方向的“基准”，0是区分正负的基准）

单位长度1（单位长度是度量线段长度的单位，1是实数单位，“单位”实

际上给出了一个统一的标准，使大家在同一个平台上讲话）

方向符号（空间中，“由A到B”和“由B到A”是两件不同的事情，其差别由“方向”来标记。A，B两点“位置差别”的定量化定义，必需且只需用“方向”和“长度”。数轴上，方向只有“左”“右”两种，可以理解为“相反方向”。负数的引入是应描述现实中的“相反意义的量”之需，确定一个实数，需要“符号”和“绝对值”两个要素，它们正好对应了定量化定义A，B两点“位置差别”的“方向”和“长度”。）

所以，本内容的教学重点是：体会数轴的三要素；体会用数轴上的点表示数的合理性。

二、目标及其解析

1．目标

（1）能用数轴上的点表示有理数；

（2）体会数轴三要素和有理数集（实数集）中0、1和数的符号之间的对应关系，从而体会数形结合思想。

2．目标解析

上述目标（1）是操作性的，给定一个有理数，要求学生能找到表示它的点，但不要求根据实际问题画数轴；目标（2）是“内容所蕴含的思想方法”，体会的是在“用点表示数”时，数轴“三要素”保证了点与数的“一一对应”——给一个数，就有唯一确定的点与之对应；反之，给一个点，就有唯一的数与之对应。

实际上，为什么要这样定义，它的好处是什么，需要今后学习慢慢体会。

三、教学问题诊断

学生第一次遇到用形表示数的问题，困难在于其中蕴含的思想。可以借鉴引入负数时的经验，也要借鉴学生的生活经验。但在基本思想上，还是要借助于具

体情境，教师先讲解，学生获得体验后进行模仿式举例。其中，“三要素”及其对于确定“数轴上的点”的意义（根据“三要素”，可以在数轴上找到唯一确定的点，否则“存在性”“唯一性”就做不到），有理数集（实数集）中0，1以及数的符号等与数轴上的相关要素的对应性，都需要教师引导。

本内容的教学难点是：数轴“三要素”与有理数集（实数集）中0，1以及数的符号的对应性。

四、教学过程设计

1．问题情境下的三次概括

问题1 在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌往东3ｍ和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境。

学生画图后提问：

（1）马路可以用什么几何图形代表？（直线）

（2）你认为站牌起什么作用？（基准点）

（3）你是怎么确定问题中各物体的位置的？（方向，与站牌的距离）

设计意图：“三要素”为定向，用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题。这是实际问题的第一次数学抽象。

说明：学生也可能只用与站牌的距离来表示，有最好，可以与下面的方法做比较，看哪个更方便。

问题2 上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义。我们知道，正数和负数可以表示两种具有相反意义的量，那么如何用数表示这些数、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？

学生画图表示后提问：

（1）0代表什么？（基准点）

（2）数的符号的实际意义是什么？（方向）

（3）如图，在一条直线上，A，B的距离等于B，C的距离，B点用3表示，C点用7.5表示，行吗？为什么？（不行，单位不一致，与实际情境不符）

E

D

O

A

B

C －4.8

－3

0

1

3

7.5 （4）上述方法表示了这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系。例如，－4.8表示位于汽车站牌西侧4.8 m处的电线杆。你能自己再举个例子吗？

设计意图：继续以“三要素”为定向，“点用数表示”，实现第二次抽象，为定义数轴概念提供直观基础。

问题3

大家都见过温度计吧？你能描述一下温度计的结构吗？比较上面的问题，你认为它用了什么数学知识？

解释0度的含义（冰水混合物的温度规定为0度——温度的基准点）。

设计意图：借用生活中的常用工具，说明正数、负数的作用。引导学生用“三要素”表达，为定义数轴概念提供有一个直观基础。

问题4 你能说说上述两个实例的共同点吗？

设计意图：进一步明确“三要素”的意义，体会“用点表示数”和“用数表示点”的思想方法，为定义数轴概念提供进一步的直观基础。

2．定义、辨析数轴概念。

请同学们带着下列问题阅读课本：

（1）画数轴的步骤是什么？

（2）根据上述实例的经验，“原点”起什么作用？（“原点”是数轴的“基准”，表示0，是表示正数和负数的分界点。）

（3）你是怎么理解“选取适当的长度为单位长度”的？（与问题的需要相关，表示较大的数，单位长度取小一些。等）

（4）数轴上，在原点的右边，离原点越远的点所表示的数

；在原点的左边，离原点越远的点所表示的数

。（宏观看大小）

3．练习

（1）课本练习；

（2）设a是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的哪一侧？距离远点多少个单位长度？表示－a的点呢？

4．小结

（1）数轴的“三要素”各指什么？它们各起什么作用？

（2）你认为引进数轴概念有哪些好处？

（3）你觉得接下来应该利用数轴研究哪些新问题？