相似多边形课件配套优秀教案设计

27.2.1相似三角形的判定

第1课时

教学目标

1．

知识与技能

通过一些具体情境，深化对相似三角形的认识和理解，以及掌握平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似和相似三角形的判定方法1，2．

并能运用这三个定理进行相似三角形的判定．

2．过程与方法

经历上述基本判定定理和两个判定方法的探究，发展学生合情推理能力和运用能力．

3．情感、态度与价值观

经历探究活动、发展学生学习数学的兴趣．

教学重点难点

1．重点

运用相似三角形的基本定理和判定方法进行证明．

2．难点

对“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”这一定理的两种情形的理解与掌握．

教与学互动设计

（一）创设情境

导入新课

导语一

上一节课我们学习了相似多边形的性质（对应角相等、对应边的比相等）。反过来情况又怎么样?试就三角形的情况进行讨论．

导语二

上一节课我们学习了相似多边形的判定，对于在相似多边形中，最简单的就是相似三角形的情况，是怎样?你能否写出来?

导语三

多边形中最基本的图形是什么?相似多边形中呢?根据相似多边形的判定的条件写出相似三角形判定条件．

（二）合作交流

解读探究

1．相似三角形及表示方法

在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，ABBCACk，A'B'B'C'A'C'我们就说△ABC与△A'B'C'相似．记作△ABC∽△A'B'C'，k是它们的相似比．

【想一想】k=l时，这两个三角形关系怎样?

2．基本定理

完成教材P42思考：如图27—2一l，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC。DE交AC于点E，△ADE与△ABC有什么关系?

A 师：先判定△ADE与△ABC的三个角有什么关系?

生：可以证明到△ADE与△ABC的对应角相等．

D E 师：再看这两个三角形的边，由D是AB的中点，

显然有AD=1AD1AB，即=．其他的对应边是否

2AB2B C 图27-2-1 也是这样?试以小组为单位进行分类讨论．

教师按照教材的思路作平行线，运用平行四边形的性质，证明三角形全等，得到对应边的比相等．在此基础上，教师让学生思考、归纳得出一般结论；

1

基本定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．

【引申】上述结论中，如果平行线与其他两边延长线相交结论

D E 仍成立，你能画出正确的图形吗?(图27—2—2)．

3．相似三角形判定方法1、2 A

回顾全等三角形的判定方法类似猜想出判别三角形相似的方法．

教师引导学生完成教材P44探究1，P45探究2及P46思考．

三角形相似的判定方法：

B C （1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，

图27-2-2 那么这两个三角形相似．

（2）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．

例

讲解教材P46例1．

【练一练】教材P47练习．

（三）应用迁移

巩固提高

类型之一运用判定方法判定某些结论的正确与错误

2005年·北京

如图27—2—3，在□ABCD中，E是AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是

(

)

A．∠AEF=∠DEC

B．FA：CD=AE：BC C D

C．FA：AB=FE：EC

D．AB=DC 【解析】判断B，C两选项是否正确，先根据相似三角形的判

定方法判定相应的三角形相似，再运用对应边的比相等进行

判定

F 【解析】∵DC∥AB，∴△DCE∽△AFE．

∴E FAAE，故结论B错误．

CDDEFAFEFBFC，即，

FBFCFAFE图27-2-3 A B ∵AE∥BC，∴△FAE∽△FBC．∴∴FAABFEEC. FAFEABEC∴，即FA：AB=FE：EC，故结论C正确，而A、D显然正确，∴应选B．

FAFE

【点评】本题除运用相似三角形对应的边比相等外，还应根据图形对比例式进行适当的变形．

类型之二

运用相似三角形进行计算、求值

例2

2006年·北京

如图27—2—4，DE与△ABC的边AB，AC分别相交于D、E两点，若AE=2cm，AC=3 cm，AD=2．4 cm，AB=3．6 cm，DE=4

cm，则BC＝_____________。

3A 【解析】根据题中所给出的已知线段的长，可得出其中四条线段是成

比例的，于是得到三角形相似然后再进行计算．

解：∵AE=2 cm，AC=3 cm，AD=2．4 cm，AB=3．6 cm．

∴D B 图27-2-4 E C AEAD2，而∠A＝∠A’

∴△ADE∽△ABC，

ACAB3

2

4DEAE42∴

，又∵DE=

，∴3，BC＝2cm

BCAC3BC3

【点评】运用相似三角形不仅可以进行边的计算，还可以进行角的计算，下面各举一例加以说明．

A E D 变式题（2004年·烟台）如图27—2—6，在□ABCD中．AB=10．E是BC的中点，在A占上取一点，，使△CBF与△CDE相似，则F BF的长是

（

）

A．5

B 8 2 B C

C．6．4

D．1 8 图27－2－6

【解析】在△CBF与△CDE中，显然有∠B=∠D，下面只需∠B的两边与∠D的两边的比相等即可．

解：在□ABCD中，∠B=∠D，要使△CBF∽△CDE或△CBF∽△EDC，

则BCBFBCBF6BF6BF或，即或。

CDDEDECD103310解得BF＝1.8或BF＝20，∵BF≤AB，AB＝10，∴BF＝1.8，故选D。

【点评】在要判断的两个三角形相似时，有一个角相等的情况下：夹这角的两边的比相等时有两种情形，不要只考虑一种情形，而忽视了另一种情形．

（四）总结反思

拓展升华

【总结】1．本节学习的数学知识：（1）△ABC与△A’B’C’相似，可记为△ABC∽△A’B’C’．

(2)相似三角形的判定方法：①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似③如果两个三角形的两组对边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．

2．本节学习的数学方法：类比转化的思想方法

【反思】你能用证明教材P44探究1的方法来证明P45探究2中的结论吗? 【拓展】2006年·北京西城区 如图27－2－7所示，DE∥FG∥BC，图中共有相似三角形A （ ）

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

E D 【解析】∵△ADE∽△AFG，△ADE∽△ABC，

△AFG∽△ABC，应选C。

F G 【点评】按照一定的顺序去寻找相似三角形。

B C （五）当堂检测反馈

图27-2-7

1．一个三角形三边的长分别为6 cm，9 cm，7．5 cm，另一个三角形三边长分别为8 cm，12 cm，10 cm，这两个三角形相似吗?为什么? 解：这两个三角形相似，∵67.593。根据三角形相似的判定方法知它们是810124相似的。

【点评】在判断两个三角形的对应边的比是否相等时，可根据已知边的大小来进行计算．

2．一个直角三角形两条直角边的长分别为6 cm，4 cm，另一个直角三角形两条直角边的长

3

分别为9 cm，6 cm，这两个直角三角形是否相似?为什么? 解：这两个直角三角形是相似的．（1）∵642，而两直角是相等的．

963∴这两个直角三角形相似．（2）∵这两个直角三角的两条直角边分别为6 cm，4 cm和9cm，6cm，∴它们的斜边分别为213

cm，313

cm 而462132。

693133∴这两个直角三角形相似

【点评】运用多种方法解题，可提高我们的思维能力．

3．2006年·湖北黄冈

如图27－2－8，已知在□ABCD中，EF∥AB，DE：EA＝2：3，EF＝4，则CD的长为（ C ）

D C

A.

16

B.8

C.10

D.16 3E A F EFDEB 【解析】∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴

，

图27－2－8 ABDADE2EA3ADDEEAEA35，∴，∴11

而EA3DE2DEDEDE22DE2EFDE2，即，

∴DA5ABDA542，∴CD=AB=10，故应选C．

又∵EF＝4，∴AB5【点评】将已知线段的比转化为相似比是解决本题的关键。

4．若△ABC的三边之比为3：5：6，与其相似的△A’B’C’的最大边为15 cm，且△ABC2，那么△ABC的最小边为5 cm．

32

【解析】由△A’B’C’的最长边为15 cm，且它们的相似比为，所以△ABC的最长边3210为15×=10 cm，最小边长为×3=5 cm，应填5 cm．

36与△A’B’C’的相似比为【点评】本题应根据已知条件求出△ABC的最长边，然后再求其最短边．

5．在△ABC中AB=9，AC=12，BC＝18，D为AC上一点，

DC=A A 或8．

D

E D E

B C B C

（b）

（a）

图27－2－9

【解析】（1）当△AED∽△ABC时，此时图形为27—2—9（a）可得DE=6；

（2）当△ADE∽△ABC时，此时图形为27—2—9（b），可得DE=8．

2AC，在AB上取一点E，得到△ADE，若图中两个三角形相似时，则DE长为_63

4

【点评】本题一般同学只考虑第一种情形，即只考虑到DE∥BC时的情形．而忽略第二种DE∥不平行BC时的情形．要注意在第二种情形的情况下，这两个三角形也相似．

5