回顾与思考第二课时教案

中考数学专题复习－矩形、菱形、正方形

漳州实验中学

黄文趁

1.学情分析

学生已经学习了矩形、菱形、正方形的概念及相关性质与判定，初步具有几何直观，应用意识和逻辑推理能力，基本掌握了几何图形研究的一般思路和方法，但各种特殊平行四边形的性质和判定重叠交错，容易混淆，在应用性质和判定时，容易出现错用、多用或少用条件的现象。中考第一轮复习的时间紧，任务多，而先前新课学习时掌握的知识和技能有些遗忘，而且大部分认知还停留在知识层面，没弄明白各知识点间的内在联系与区别。通过本次的板块复习，知识的系统性、综合性、技巧性等方面都要在原来的基础上有所提升。

2.重难点

矩形、菱形、正方形关系的理解和应用，以及利用矩形、菱形、正方形的性质与判定进行推理和计算。

3.复习目标

（1）加深理解矩形、菱形、正方形的概念以及它们之间的关系，熟练利用矩形、菱形、正方形的性质与判定进行推理和计算。

（2）回顾矩形、菱形、正方形的性质与判定，经历思考、完成例题与变式，渗透转化和类比的思想方法，进一步提升几何直观与逻辑推理的核心素养。

4.教学流程

4.1与学生共同回顾：

（1）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交

于点O，且OA=AB=2cm，则BD的长为_____cm，

BC的长为_______cm.

矩形的特性

边

角

对角线

第（1）题图

四个角都90°

相等

（2）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为

，对角线BD的长为

.

菱形的特性

边

四边都相等

角

对角线

垂直

第（2）题图

（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥AC，且

DP=1AC，2连结CP。

①如图（1），如果四边形ABCD为平行四边形，请判断四边形CODP的形状，并说明理由.（板书）

1

D

②如图（2），如果四边形ABCD为矩形，请判断四边形CODP的形状，并说明理由.（板书）

③如图（3），如果四边形ABCD为菱形，请判断四边形CODP的形状，并说明理由.（学生板演）

④如图（4），如果四边形ABCD为正方形，请判断四边形CODP的形状，并说明理由.（口答）

AB

O

C

P

(1) (2) (4) (3)

解：①(老师分析并板书证明过程)平行四边形；理由：

因为四边形ABCD是平行四边形；

1AC. 21因为DP=AC；所以OC=DP. 2所以OC=因为DP∥AC即OC∥DP；

所以四边形CODP是平行四边形. ②(老师分析并板书证明过程)菱形；理由：

因为四边形ABCD是矩形，

所以OD=OC. 由①得，四边形CODP是平行四边形. 所以四边形CODP是菱形. ③由学生完成分析与书写证明过程。

④分析后学生口答即可. 设计意图：操作形象易懂，引导学生回顾这三种特殊平行四边形在边、角、对角线方面的特殊性，回顾矩形、菱形、正方形与平行四边形的联系。在学生解决问题时，经历猜想、分析、证明等过程，培养学生推理能力的核心素养；该部分练习难度小、容量少、涉及的知识点多，学生在这一阶段容易体验成功的喜悦，激发学习积极性。

4.2师生共同完成思维导图

设计意图：通过思维导图的形式，系统完整地归纳总结矩形、菱形、正方形的性质和判定，直观体现它们三者的联系与区别，为下一阶段的应用做铺垫。让学生体会数学具有严密的知

2

识体系和科学精神，感受数学文化的魅力。

4.3 经典考题剖析

例1：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，联结CF. （1）求证：AF＝DC （2）若AC⊥AB，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由；

（3）若AD⊥BC，那么四边形ADCF的形状是什么？

（4）若∠BAC＝90°，AC＝AB，那么四边形ADCF的形状是什么？

（5）若CA平分∠FCD，那么四边形ADCF的形状是什么？

（6）若∠BAC＝90°，AB=8，BC=10，求点A到FC的距离. 解：（1）证明：因为点E为AD的中点，

所以AE＝DE。

因为AF∥BC，所以∠AFE＝∠DBE 

AFE＝DBE在△AFE和△DBE中，FEADEB

AEDE所以△AFE≌△DBE（AAS）

所以BD＝AF。

因为AD为中线，所以DC＝BD 所以AF＝DC （2）四边形ADCF是菱形，理由如下：

因为AF＝DC，AF∥BC，所以四边形ADCF是平行四边形

因为AC⊥AB，所以∠CAB＝90°

因为AD是中线，所以AD1BCDC

2所以平行四边形ADCF是菱形。

第（1）、（2）题功能分析：知识功能，本题涉及平行四边形、菱形的判定及直角三角形斜边上中线的性质的综合运用；能力功能，学生在解决问题时，用分析法从问题出发得到已知条件，第（2）问需要经历猜想、推理、证明等过程，构建类似问题的模型，提高学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养；教育功能，数学作为一种文化，在学生非智力因素的培养方面也具有特殊功效，在解题过程中遇到困难、挫折不放弃，勇于实践创新，体验成功感受。

第（1）、（2）题教学示范：教师呈现例题，学生独立思考并尝试解答，教师巡视并个别点拨，待学生基本完成后指定学生展示，如果学生解答正确时教师可迫问学生“是怎么想到的，解决问题的关键是什么？”如果学生解答有困难或不全面时，教师引导学生进行分析，为学生搭建解决问题的“脚手架”。通过学生展示、师生互动让全班学生明白解决问题的关键之处，如何思考、分析解题方法。第（1）问比较容易，解决后教师可追问：“试判断四边形ADCF的形状？”引导学生总结本问考查的知识点有平行线与三角形中线的性质及全等三角形的判定和性质。第（2）问是猜想四边形ADCF的形状，在第（1）问中已做了铺垫，学生已经知道四边形ADCF是平行四边形，所以关键是找其邻边相等或有一个内角为直角或邻边相等且有一个内角为直角。

第（3）—（6）题功能分析：知识功能，第（2）—（4）题是特殊平行四边形的三种判定方法，第（5）、（6）题运用了特殊平行四边形的判定与性质，融入直角三角形及三角

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形中线的性质、解直角三角形等知识；能力功能，在（1）、（2）题的基础上改变局部条件进行了五种变式，将等积法等融入特殊平行四边形，拓展学生思维，提升解题能力，构建特殊平行四边形的模型，在思考与辩论中提升学生的直观想象与逻辑推理能力，进一步落实逻辑推理、数学建模、直观想象的核心素养。教育功能，通过系列变式练习，为学生建立严密的知识体系与技能，提高学生非智力因素，促进学生的科学探索精神。

第（3）—（6）题教学示范：此题的五个变式逐一完成，前三个由学生独立思考后举手回答，教师指定学生分享，其他学生补充意见或纠正，最后师生达成共识，提炼特殊平行四边形的判定方法与技巧。第（6）题是在特殊平行四边形中求线段的长，改变了特殊平行四边形判定的单一思维，可让学生独立思考后在小组内分享各自的想法，小组成员相互补充，不断完善。问题解决后教师引导学生领会转化的思想方法。

例2如图8，在矩形ABCD中，AB=6，AD=13，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点。

（1）判断四边形EGFH的形状，并说明理由；

（2）当点E运动到何处时，四边形EGFH为菱形；

（3）当点E运动到何处时，四边形EGFH为矩形；

（4）在点E 的运动过程中，四边形EGFH有可能是正方形吗？

若有可能，求出此时点E的位置；

若不可能，求出AB：AD为何值时，四边形EGFH才有可能是正方形？

第（1）、（2）题功能分析：知识功能，让学生通过参与解题活动，巩固三角形中位线定理和全等三角形的判定、正方形的性质和判定，中位线定理和直角三角形斜边性质的知识。能力功能，促进学生思维能力的发展，从问题出发，分析得到已知条件，提高学生分析问题、解决问题的能力，进一步落实学生逻辑推理的核心素养，教育功能，当学生遇到困难问题时，通过剖析条件，解决有挑战性的问题，通过努力去克服围难，培养学生的探索精神. 第（1）、（2）题教学示范：由学生独立思考并解答第（1）问，教师巡视并指定学生板书证明过程，引导学生总结判定全等三角形的几种方法，理解三角形中位线定理，在解决第（2）问时，部分学生会觉得难度较大、不知道从何处入手时，教师可引导学生思考正方形有哪些性质，如何表示GH与EF的关系、EF与AB的关系。学生独立思考后在小组内交流，指定学生代表展示，教师适时引导方法或追间其理由。

第（3）、（4）题功能分析：知识功能，通过第（3）、（4）题帮助学生获得判定特殊平行四边形系统知识，通过第（4）题在解题过程中，巩固正方形的性质和三角形中位线定理；能力功能，在数学解题过程中，通过改变思考角度，转化解题方法，培养学生思维的灵活性和敏提性通过追问，拓展学生思维并培养自主解决问题的能力。教育功能，让学生把握间题的实质，发现条件中的隐含信息，从而解决问题，鼓励学生换个角度思考问题，培养学生创新思维能力，进一步落实数学抽象逻辑推理、数学建模的核心素养。

第（3）、（4）题教学示范：第（3）题学生独立思考后，小组讨论得出结论，在教师的引导下从题出发，要说明点E运动到何处，四边形EGFH为矩形或菱形或正方形，第（3）、（4）题采用追问的方式可能更好，促进学生思维的敏捷性，提高课堂效率，分析方法是假设四边形EGFH为矩形、菱形、正方形，从而得出需要哪些条件。第（4）题追问的开放度较大，可让学生独立思考，小组分享讨论，班级展示，学生共同完成。

4.4 归纳提炼

1、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的包含关系可用下图表示。

矩形、菱形、正方形都是平行四边形，所以平行四边形的所有性质，矩形、菱形、正方形也都具有；但是矩形、菱形、正方形并不是

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一般的平行四边形，它们各自有各自的特点，所以它们是特殊的平行四边形。

当平行四边形具有矩形的一个特性时，它就是矩形；当平行四边形具有菱形的一个特性时，它就是菱形；当平行四边形既具有矩形的特性，又具有菱形的特性时，它就是正方形，因为正方形既是矩形又是菱形。

矩形

菱形

正方形

边

对边平行且相等

对边平行

对边平行

四边都相等

四边都相等

角

对角相等

对角相等

对角相等

四个角都90°

四个角都90°

对角线

相等且互相平分

互相垂直平分

相等且互相垂直

平分

2、三角形是最简单、最基本的几何图形。因此，我们在研究四边形，乃至多边形时，常通过作辅助线（例如连对角线、作高等）把四边形（多边形）的问题转化为三角形，运用三角形的知识（如：勾股定理、三角函数、三角形全等、三角形相似等）来求解。

勾股定理

对角线、高

三角函数

四边形

三角形

三角形全等

（多边形）

转化

三角形相似

4.5课后巩固

（1）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且OA=AB=2cm，则矩形的面积为

cm²；△AOB的面积为

cm². 第（1）题图

（2）（2018淮安改编）如图，在菱形ABCD中，

①若对角线AC、BD的长分别为6和8，你能求什么呢？

②若∠ABC=60°，AB=4，你能求出对角线AC、BD的长吗？

(3)（2018.通辽

改编）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．

①求证：△AEF≌△DEB；

②连接DF，请判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论；

③若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

④当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论.

5 第（2）题图

（4）(2018.北京)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．

①求证：四边形ABCD是菱形；

②若AB=5，BD=2，求OE的长．

（5）(2018.盐城)在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示. ①求证：△ABE≌△ADF；

②试判断四边形AECF的形状，并说明理由.

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