回顾与思考优秀公开课教案

第二章

一元二次方程

回顾与思考

城固县朝阳中学 刘 云

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生在七年级和八年级已经学习了一元一次方程、二元一次方程以及一次函数的相关知识及应用，在本章中，又学习了一元二次方程的相关解法，初步体会了一元二次方程在解决实际问题中的具体应用，具备了利用数学知识解决实际问题的能力；

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了由具体问题抽象出数学模型的过程，初步积累了一定的数学建模方法；同时在以往的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的机会，具有一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力.

二、教学任务分析

本节课是一元二次方程的复习课，对于本章的基础知识，学生已大致掌握.本节课以梳理、巩固基础知识为起点，重点解决在学生中存在的易错点与混淆点；实际应用是方程建模思想的具体体现，学生往往感到有一定的难度，本节课以此为重点，从简单的实际问题入手，逐步加深对建模思想的理解.为此，设置本节课的教学目标如下：

1、知识与技能：

①经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；

②能够利用一元二次方程解决有关实际问题，帮助学生认识到运用方程解决实际问题的关键是确定题目中蕴含的等量关系；并且能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；

③了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想；

2、过程与方法：

1

①通过让学生经历将多种实际问题抽象成数学问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；

②通过小组合作学习，经历一题多解等过程，发展学生多角度思考问题的方法. 3、情感与态度：

①通过对方程的认识、一题多解的思维展示，发展学生勇于展示自己的品质；

②在解决富有挑战性的问题的过程中，培养学生敢于直面困难、勇于挑战的良好品质，鼓励学生大胆尝试，体会成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣.

三、教学过程

本章的知识体系包括五大部分：本节课复***部分

（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.在这里应注意的问题是：⑴只含有一个未知数；⑵未知数的最高指数必须是2；(3)二次项系数不为0）

1、判断下面方程哪些是一元二次方程

（1）

（ ） （2）

( ) （3）

( ) (4) 3

2、当m 时，关于x的方程(m－1)xm2

1+5+mx=0是一元二次方程. 3、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0，当m 时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程. （二）一元二次方程的解法：一元二次方程的常用解法有：⑴

直接开平方法；⑵

配方法；⑶

公式法；⑷因式分解法.（注意：在运用配方法解一元二次方程时，一般先将二次项系数化为1；在运用公式法解一元二次方程时，必须先将方程化为ax2+bx+c=0 (abb24ac≠0)的形式，同时判断b-4ac是否≥0，如果b-4ac≥0，才可用公式x2a22求解），并由此推导出如何判断一元二次方程的根的情况的方法。

例：解下列一元二次方程

（1）（

）

用直接开平方法）

2

(2) 4x2－16x+15=0 (用配方法解) (3) 9－x2=2x2－6x(用分解因式法解) (4) 3x2=4x+7(用公式法解) (5) (x＋1)(2－x)=1 (选择适当的方法解) （三）一元二次方程根的判别式

一元二次方程 a

根的情况

定理与逆定理

两个不相等的实根

两个相等的实根

没有实数根

两个不相等的实根

两个相等的实根

没有实数根

例：求证：

无论m取何值，关于x的方程

有两个不相等的实数根

练习

1、关于x的一元二次方程

有实数根，则m的取值范围是 2、关于x的方程

有实数根，则整数a的最大值是 （四）一元二次方程根与系数的关系

（五）一元二次方程的应用：花边、道路宽度（P42

引例）；梯子滑动（P43

引例）；养鸡场问题（P56

2）；古算题（P65

1）；简单动点问题（P66

2）；利润问题（P66

例2）（其关键是能找出题目中的等量关系，列出方程）

本章的重点和难点是：一元二次方程的解法和应用. 练习检测

1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

A、

B、a

C、（x+1）(x-2)=1 D、3

2、一元二次方程(3x-1)(2x+2)=

化为一般形式为 ，二次项

3

系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。

3、已知x=1是一元二次方程

的一个根，则代数式

+

的值

是 4、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）

A、若

，则x=2 B、若

的一个根是1，则k=2. C、若3

,则x=2 D、若

的值为零，则x=2 5、一元二次方程

的解是 6、已知关于x的方程

数值是 7、写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为2和-1，则这个方程可以是 8、已知关于x的方程（

）

,当m 时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程；当m= 时，x=0. 9、已知关于x的方程（

）

,有两个相等的实数根，求k的值

10、已知关于x的一元二次方程（a+c）

其中a,b,c是△ABC三边的长

（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状并说明理由。

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状并说明理由。

（3）如果△是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。

课堂小结

内容：师生共同总结本节课的收获，内容主要设计以下几个方面：

（1）整节课的感悟：如在解决概念性题目时，要注意领会概念的实质含义；在计算时要做到细心；对于学过的内容，自己要及时进行梳理等等；

（2）解决问题时所用到的方法；

（3）对于某个知识点的困惑；

（4）通过本节课的学习，自己的最大收获. 目的：关注学生对数学知识的理解、数学方法的掌握和数学情感的感悟，力争使每

有两个不相等的实数根，则m的最大整数

4

个层次的学生在本节课学有所获.

实际效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，每个同学的感受也揭示了各自的良好学习方法，为其他同学的学习、听讲等方面提供了有效的借鉴.

布置作业

1、本节课中涉及的所有题目在课下进行分类整理，留作资料；

2、

课本第二章习题回顾与思考1、2/3.

四、教学反思

1、作为一章的复习课，本节课设置的内容较为全面细致，重点突出，课堂容量相对来说较大，学生的分组讨论从时间上来看较为紧张，因而，应该更好地规划对某些题目的处理.同时作为一个较大的章节，分二到三课时上较好。

2、通过课前知识网络的整理、课堂展示讲解的过程，为学生提供展示自己的机会，更利于教师在此过程中发现学生的闪光点以及思维的误区，以便指导今后的教学. 3、学生的学习合作小组也应该是动态的，所学知识的不同，学生的反应也不相同，在分组时，应该将思维形态类似的同学放在一组，这样，可以避免让一些思维活跃的学生代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问.同时，教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性.

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