加减法解二元一次方程组特级教师教学实录

第五章

二元一次方程组

2. 求解二元一次方程组（第2课时）

一、学生分析

在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、合并同类项、去括号等法则，能熟练的进行简单的整式的加、减法运算，知道方程的解的意义，能熟练的求解一元一次方程，二元一次方程、二元一次方程组，能通过代人消元法求解二元一次方程组. 学生已经经历了列整式、列一元一次方程并求解，列二元一次方程组解决了一些简单的现实问题，感受到了方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，通过解一元一次方程和用代入消元法解二元一次方程组获得了解二元一次方程的基本经验和基本技能；同时在以前的数学学习中学生已经合作学习，具有了一定的合作学习的经验，具备了合作与交流的能力. 二、教学分析

基于学生对前面解一元一次方程和用代入消元法解二元一次方程组基础之上，提出了会用加减消元法解二元一次方程组，了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学中“化未知为已知”的化归思想. .对于二元一次方程组来讲，强调“消元”的思想和方法，应是贯穿于始终的一条主线，通过“消元”，将二元一次方程转化为一元一次方程实现求解的目的，体现了化繁为简，的基本策略，但对于有些方程用代人消元法解可能比较繁杂，用加减消元法要简单一些，同时加减消元法在学生将来的运算中有广泛的应用。因此这个课时就进一步学习二元一次方程组的加减消元法. 加减消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求两个方程中必须有某一个未知数的系数的绝对值相等，然后利用等式的基本性质在方程两边同时相加或相减消元.

三 教学目标：

(1)会用加减消元法解二元一次方程组.

(2)进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.

(3) 选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力.

教学重点：用加减消元法解二元一次方程组.

教学难点：在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想. 四、教学过程

本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：讲授新知；第三环节：巩固新知；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业. 第一环节：情境引入

以巩固练习，在练习中发现新的解决方法

怎样解下面的二元一次方程组呢？（学生在练习本上做，教师巡视、引导、解疑，注意发现学生在解答过程中出现的新的想法，进行评析，并为加减消元法的出现铺路.）

3x5y21①

2x5y11②学生可能的解答方案1：

解法1：把②变形，得：x5y11, ③

2把③代入①，得：3解得：y3. 5y115y21, 2把y3代入②，得：x2. x2所以方程组的解为. y3学生可能的解答方案2：

解法2：由②得5y2x11, ③

把5y当做整体将③代入①，得：3x2x1121, 解得：x2. 把x2代入③，得：y3.

x2所以方程组的解为. y3（此种解法体现了整体的思想）

学生可能的解答方3：（观察发现：两个方程中一个含有5y，而另一个是5y，两者互为相反数）

解法3：根据等式的基本性质

方程①+方程②得：5x10, 解得：x2, 把x2代入①，解得：y3, 所以方程组的解为x2. y3通过上面的练习发现，基本上都能够按要求解出二元一次方程组的解，可是也有同学发现有的解法较简单（留些时间给学生观察，注意引导学生观察方程中某一未知数的系数，如x的系数或y的系数）

根据相反数的和为零将方程①和②的左右两边相加，然后根据等式的基本性质消去了未知数y，得到了一个关于x的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的. 这就是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法. （通过学生练习、对比、讨论，既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在此过程中发现了新的解二元一次方程组的方法——加减消元法.）

第二环节：讲授新知

（教师板书课题，教师规范表达解答过程，为学生作出示范）

例1 解下列二元一次方程组

2x5y7①

(1)

②

2x3y1分析：观察到方程①、②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x.

解：②-①，得：8y8, 解得：y1, 把y1代入①，得：2x57, 解得：x1, 所以方程组的解为x1. y1 (解答完本题后，口算检验，让学生养成进行检验的习惯，并注意 (1)易错点是②-①时是2x3y2x5y17，方程左边去括号时注意符号.另外解题时，①-②或②-①都可以消去未知数x，不过在①-②得到的方程中，y的系数是负数，所以在上面的解法中选择②-①；

(2)把y1代入①或②，最后结果是一样的，但我们通常的作法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值. 2：训练：用加减消元法解下列方程组：

5x2y93xy8（1）， （2）. 2xy75xy3由学生做练习，体会加减消元法的基本特点，熟悉加减消元法的基本步骤，提升学生用加减消元法解二元一次方程组的基本技能，

在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数是相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法）

2x3y123：例2 解方程组 

3x4y17①

②

（先留一定的时间让学生观察此方程组，让学生说明自己观察到方程有什么特点，用什么方法解决？用代入消元法还是加减消元法，？让学生讨论尝试，学生可能得到的结论如下）

2x3y121.对于用加减消元法解，x、y的系数既不相同也不是相反数，3x4y17

没有办法用加减消元法. 2x3y122.是不是可以这样想，将方程组中的方程用等式的基本性质将3x4y17这个方程组中的x或y的系数化成相等(或互为相反数)的情形，再用加减消元法，达到消元的目的. 3.只要在方程①和方程②的两边分别除以2和3，x的系数不就变成“1”了吗？这样就可以用加减消元法了. 4.不同意3的做法.如果这样做，是可以解决这一问题，但y的系数和常数项都变成了分数，这样解是不是变麻烦了吗？那还不如用代入消元法了.不如找x的系数2和3的最小公倍数，然后再解。

解：①×3，得：6x9y36， ③

②×2,得：6x8y34， ④

③－④，得：y2. 将y2代入①，得：x3. 所以原方程组的解是4：议一议

根据上面几个方程组的解法，请同学们思考下面两个问题：

(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？

(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？

(学生分组讨论并得出结论) (1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”. (2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：

①变形----找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数．

②加减消元，得到一个一元一次方程. ③解一元一次方程．

x3. y2

④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解．

xy4训练：用加减消元法解方程组：. 4333(x4)4(y2)注意：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等).通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑. 第三环节：巩固新知

1.关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法，通过比较，我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”. 2.只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单. ⑵完成课本随堂练习

⑶补充练习：

3x2y4①选择：二元一次方程组的解是（ ）. 5x2y6x1x1x1x1A. B. 1 C. 1 D. 1

yyyy1222②xy22x3y50，求x,y的值. ③解方程组 3x2y12x5y3. 第四环节：课堂小结

1.关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法.比较这两种解法我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”. 2. 用加减消元法解方程组的条件：某一未知数的系数的绝对值相等．

3. 用加减法解二元一次方程组的步骤：

①变形，使某个未知数的系数绝对值相等；

②加减消元；

2

③解一元一次方程；

④求另一个未知数的值，得方程组的解．

第五环节：布置作业

1.课本习题5.3 2.阅读读一读·你知道计算机是如何解方程组吗. 五、教学设计反思

1.本节课是让学生学习二元一次方程组的加减消元解法并能利用加减消元法解二元一次方程组，是提升学生求解二元一次方程的基本技能课. 2.在学习二元一次方程组的解法中，关键是领会其本质思想——消元，体会“化未知为已知”的化归思想.对于具体的题，会选择合适的方法，并会用其方法解答，这就要学生去观察方程的特点，在训练中提高学生的解答正确率和表达规范性，提升学生学数学的兴趣.

3在巩固活动中，让学生深刻的体会到二元一次方程是一元一次方程的拓展，二元一次方程组又要通过“消元”，转化为一元一次方程求解，不仅有助于学生掌握知识、提高学习效率，而且还加深了对数学的认识，体会学习数学和研究数学的能力. 4.对于数学基础比较扎实的学生完成情况好，在数和整式运算上没有过关的学生，求解速度慢而且正确率较低，在教学过程中要注意这一点，单独辅导，才不至于对后面留下麻烦。