完全平方公式课堂实录

8.5.2 完全平方公式

课题

8.5.2 完全平方公式

授课人

张会萍

会推导完全平方公

知识技能

式，并能运用公式进行简单的运算，形成推理能力．

利用多项式与多项式的乘法以及幂

数学思考

教学目标

的意义，推导出完全平方公式．掌握完全平方公式的计算方法．

问题解决

会正确地运用完全平方公式解决问题．

培养学生观察、类比、发现问

情感态度

题的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．

教学重点

教学难点

授课类型

教具

教学步骤

完全平方公式的推导和应用. 完全平方公式的应用．

新授课

多媒体

教学活动

师生活动

上节课我们学***方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，你能利用它解决下面设计意图

课时

回顾

的问题吗？

解不等式：(3x＋4)(3x－4)<9(x－2)(x＋3)．

【课堂引入】

激趣辅垫：

请一位学生讲一讲《滥竽充数》的寓言故事．

学生活动：由一位学生上讲台讲《滥竽充数》的寓言故事，其他学生补充．

教师活动：你们从故事中学到了什么道理？(寓德于教) 学生发言：比喻没有真才实学的人，混在行家里充数，或以次充好．

教师引导：对！所以我们在以后的学习和工作中，千万别滥竽充数，一定要有真才实学．好.今天同学们喊得很响亮，我要看看有没有南郭先生，请同学们完成下面的几道题：

(1)(2x－3)2；(2)(x＋y)2；(3)(m＋2n)2；(4)(2x－4)2.

学生回忆回答并练习. 从学生熟知的故事情景出发，利用多媒体，激发学生的强烈的好奇心和求知欲. 活动一：创设情境导入新课

活动

1.从

二：

实践

探究

交流

新知

学生活动：先独立完成以上练习，再争多项式与多取上讲台演练．

(1)(2x－3)2＝4x2－12x＋9；

(2)(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2；

(3)(m＋2n)2＝m2＋4mn＋4n2；

(4)(2x－4)2＝4x2－16x＋16. 项式相乘入手，推导出完全平方公式. 2.利用教师活动：组织学生通过上面的运算结几何模型和果中的每一项，观察、猜测它们的共同割补面积的特点．

方法来验证学生活动：分成小组，讨论，观察，探公式的正确讨，发现规律如下：(1)右边第一项是左性. 边第一项的平方，右边最后一项是左边第二项的平方，中间一项是它们两个乘积的2倍．(2)左边如果为“＋”号，右边全是“＋”号，左边如果为“－”号，它们两个乘积的2倍就为“－”号，其余都为“＋”号．

教师提问：那我们就利用简单的(a＋b)2与(a－b)2进行验证，请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算．

学生活动：计算出(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2，完成后，一位学生上讲台板演．

教师活动：利用学生的板演内容，引出本节课的教学内容完全平方公式．

[归纳]完全平方公式：

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；

(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 语言叙述：两个数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．

为了让学生直观理解公式，可做下面的拼图游戏．

【拼图游戏】

教师活动：(1)现有图14－2－①所示的三种规格的硬纸片各若干张，请你根据二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量的硬纸片，拼出一个正方形，并探究所拼出的正方形的代数意义．

图14－2－

(2)你能根据图②，谈一谈(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？

课堂活动：第(1)题由小组合作，在互动中完成拼图游戏，比一比，哪个小组快？第(2)题，可以借助多媒体课件，直观地演示面积的变化，帮助学生联想到

(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－2ab＋b2.

活动

三：

开放

训练

体现

应用

活动

三：

开放

训练

体现

应用

【应用举例】

算：

1.适时、恰题教学，能例1 [教材例3] 运用完全平方公式计当地安排例12(1)(4m＋n)；(2)(y－). 起到巩固所2解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n学知识(公2＋n2

＝16m2＋8mn＋n2. 121122(2)(y－)＝y－2·y·＋()

21222＝y－y＋. 4变式一

(改变公式中a，b的符号) 2计算：(－2x＋5y). 式等)的目的，使学生掌握解题的步骤．

2．对乘法公式的最解题思路：本例改变了公式中a，b的符初运用是模号，处理方法之一：把式子变形为仿套用，套

(－2x＋5y)＝[－(2x－5y)]＝2(2x－5y)再用公式计算(反思得：222(a－b)＝(b－a)；(－a－b)＝2(a＋b))；方法二：把式子变形为：22(－2x＋5y)＝(5y－2x)后直接用公22用的前提是确定是否具备使用公式的条件，关键是正确确式计算；方法三：把式子变形为定“两数”22(－2x＋5y)＝[(－2x)＋5y]后直接即“a”和用公式计算．在此处应注意添括号的法“b”.

则！

变式二

(改变公式中的项数)计算：

[教材例5] (1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；(2)(a＋b＋c)2. 解题思路：(1)利用添括号法则(在此应讲解一下添括号的法则)适当变形．然后利用平方差公式及完全平方公式即可解决．

(2)(a＋b＋c)可先变形为22[a＋(b＋c)]2或[(a＋b)＋c]或者[(a＋c)＋b]，再进行计算. 解：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3) ＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)] ＝x2－(2y－3)2

＝x2－(4y2－12y＋9) ＝x2－4y2＋12y－9. (2)(a＋b＋c)2

＝[(a＋b)＋c]2

＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2

＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2

＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. 例2 [教材例4] 运用完全平方公式计2

算

(1)1022；(2)992. 解：(1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10000＋400＋4＝10404. (2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝10000－200＋1＝9801.

【拓展提升】

拓展1 变形后利用乘法公式

灵活运例1 运用乘法公式计算：(1)(x＋y)用公式主要(2x＋2y)；(2)(a＋b)(－a－b). 是指既要熟【方法归纳】本例中所给的均是二项式练地正用公乘以二项式，表面看外观结构不符合公式，又要掌式特征，但仔细观察易发现，只要将其握公式的逆中一个因式作适当变形就可以了．观察用，还要根到两个因式的系数有倍数关系或相反关据题目特点系是正确变形并利用公式的前提条件．

善于对公式拓展2 利用完全平方公式的变形进行进行变式使代数式求值(简单的配方法) 用．在解题例2 已知a＋b＝－6，ab＝8，求(1)a2中充分体现＋b2；(2)(a－b)2. 应用公式的利用完全平方公式，可以使一些计算简思维灵活便．对一些形式上不符合公式的式子可性，综合并进行适当地变形，使之符合公式的应灵活地解决用．完全平方公式的变形如下表：

有关的不同完全平方公式

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab 变形

类型的问题.

②2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2) (a－b)2＝a2－2ab＋b2

①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab ②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2

③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab ④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab

【达标测评】

1．用完全平方公式计算：

(1)(1＋x)2；

(2)(y－4)2；

(3)(x－2y)2；

(4)(2xy＋x)2. 2．一个正方形的边长为a cm.若边长减少6 cm，则这个正方形的面积减少了多1.当堂检少？

改正．

活动

四：

课堂

总结

反思

(1)(x＋y)2＝x2＋y2；

(2)(－m＋n)2＝－m2＋n2；

(3)(－a－1)2＝－a2－2a－1. 4．计算：(a＋b＋2c)2. 到正确的结果是4x2＋________＋25y2，是(

) 测，及时反果．通过完成练习使学生进一步熟练掌握公式的结构特2．教师行探索，必3．下面的计算是否正确？如有错误，请馈学习效5．小兵计算一个二项整式的平方时，得征．

但中间一项不慎被污染了，这一项可能引导学生进A．10xy

B．20xy

C．±10xy 要时进行适

D．±20xy 当地启发和6．运用乘法公式计算：

(1)(x＋1)(x－1)(x2－1)；(2)(x＋3)(x－3)(x2－9)；

(3)(x＋2)2－(x－2)2；(4)(x＋y＋z)(x－y－z)；

(5)(a＋2b＋c)2；(6)(2a＋b＋1)(2a＋b提示.

－1)；

7．已知a＋b＝－6，ab＝8，求(1)a2＋b2；(2)(a－b)2.

课堂小结：

(1)谈谈你的收获吧！

(2)你还有哪些疑惑？

布置作业：

课本P112习题14.2第2，3，7题

【知识网络】

【教学反思】

①[授课流程反思] 让学生带着原有的知识背景、生活体验活动

四：

课堂

总结

反思

和理解走进学习活动，并通过自己的主动探索，与同学合作交流、反思等，构建对知识的形成和运用．

②[讲授效果反思] 教师在此立足于强化新知识的同时，着

反思，眼于激发学生的思考兴趣和发现兴趣，更进一步提培养学生的归纳理解能力．本节课在中升. 学代数占据着非常重要的位置，一定要使学生熟悉这个公式及它的各种变形．

③[师生互动反思] 在整个教学过程中充分运用探究学习与合作学习，有学生之间的交流，也有师生之间的交流，在课堂中构建和谐，民主的气氛．对于作业习题的布置打破传

框架图式总结，加上

生动记忆方法，使学生易于接受.

课堂总结，发展潜能

统的格局，使不同层面的学生得到不同发展． ④[习题反思] 好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________