3.1 数系的扩充优秀公开课教案

课题：§3.1 数系的扩充

【教学目标】

1.

理解复数的概念及复数的代数表示

. 2.

掌握复数相等的充要条件. 3.

回忆并感知数系扩充的过程感悟数系扩充的基本方法. 【教学重点】感受数系扩充的过程，理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件．

【教学难点】复数概念的引入．

【教学过程】

一、问题情境：

问题的提出：将数字10分成两部分，使他们的乘积等于40，求这两部分？ （让学生展开讨论，提出解决问题的方案，并引导学生发现：由于负数不能开平方，从而该方程在实数范围内无解．）

二、学生活动

1．数系的扩充是生产实践与社会发展的需要．

（1）计数的需要产生了自然数．

（2）为了表示具有相反意义的量引入了负数，数集由自然数集扩充为整数集．

（3）为了测量与分配的需要，引入了分数，数集由整数集扩充为有理数集．

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（4）第一次数学危机，使人们发现了无理数，数集由有理数集扩充为实数集．

2．数系的扩充是数学内部发展的需求．

从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的，不妨以解方程为例：

问题1：在自然数集中方程x40有自然数解吗？

问题2：在整数集中方程x40有自然数解吗？

问题3：在整数集中方程

3x20有解吗？

问题4：在有理数集中方程

x220有解吗？

点评：从自然数集、整数集、有理数集到实数集：

（1）每一次数的概念的发展，新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的．

（2）在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾．

三、意义建构

1．数集进一步扩充的必要性

问题5：方程x210有实数解吗？

说明：面临方程x210无解，负数不能开平方的问题，表明数的概念需要进一步发展，实数集需要进一步扩充． 2．实数集扩充的方法

（1）引入新数

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数集每一次的扩充，都引入了一种新数，使得到的新的数集包含了扩充前的旧数集．因此，实数集再扩充，就要引入新数．

（2）引入虚数

①历史回顾：1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我们却用下列方式解决了.”

10515515 4051551515能作为“数”吗？它表示什么意义呢？



②1637年，法国数学家笛卡儿给这样的新数起名为虚数，即

“虚的数”与“实数”相对应．

（3）认识复数

①引入虚数后，数系又扩充为什么样的数集呢？

②1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”,它满足：

i21，且称为虚数单位. 四、数学理论

1．引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：

（1）i21；（说明i是方程的x210的一个根）

（2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．

2．复数的定义：形如abi(a,bR)的数叫复数，用字母C表示，a叫复数的实部，b叫复数的虚部，全体复数所成的集合叫做复数集．

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3．认识复数集

提出问题：复数集和实数集有什么关系？

师生互动：对于复数zabi(a,bR)，当且仅当b=0时，z是实数a；当b≠0时，z叫做虚数；特别地，当a=0且b≠0时，z叫做纯虚数．

点评：（1）实数集是复数集的真子集，即RC．

（2）引入虚数后，实数和虚数合称为复数，数系又由实数集扩充为复数集了．

五、数学运用

1．理解概念及简单应用：

例1．完成下列表格

4

23i

0

14i

23

52i

6i

i2

实部

虚部

分类

例2．实数m取什么值时，复数zm(m1)(m1)i是：

（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

思考1：a0是复数zabi为纯虚数的

条件（“充分必要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”）

思考2：例1中，实数m取什么值时，复数z是6+2 i ?（引出复数相等的充要条件）

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2．复数相等问题

引导学生由反思2得出两个复数相等的充要条件．

复数相等的充要条件：如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等，反之亦然．即：

ac．

a,b,c,dR，abicdibd例3．已知xyx2yi2x53xyi，求实数x,y的值．

解题反思：解决复数问题的一种基本方法——复数问题实数化．

六、课堂小结

小结本节课所学知识. 七、板书设计

课 题

1.虚数单位的引入

2.复数的定义

3.复数的分类

4.复数相等的充要条件

例2（学生板书）

新数i的引入过程

学生1 学生2 学生3 八、本节课的教学感想

本节课使用计算机多媒体技术，展现知识的发生过程，激情引趣，充分体现“教师为主导，学生为主体”的观念，增加课堂教学的容量及准确性直观性，注重数学科学研究方法的掌握，是研究性教学的一次有益尝试。有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有第5页（共6页）

利于学生的实践能力和创新意识的培养.

九、课堂检测

1. 下列复数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？其中复数的实部与虚部分别是什么？

12i，23，i，52i，isin，i2，752i

实数：

虚数：

纯虚数：

m2m6m25m6i为：

2．当实数m为何值时，zm312（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数

3．若xR，且2x23x2x25x6i0，求x的值

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