认识有理数教学创新设计

《认识无理数》

教学设计

银川英才学校 姜德育

一、教材分析：

《认识无理数》是北师大版八年级上册第二章第一节内容，通过本节课的学习，学生对有理数的范围就扩大到实数范围。本章节将为后面学习有理数的性质、二次根式、二元一次方程打下基础。这节课不仅仅有助于完善学生的知识结构，而且能够帮助培养学生的想象力、渗透数学思想，发展学生的逻辑思维能力。

二、教学目标：

(一)知识目标: 1、通过拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性；

2、能判断给出的数是否为有理数；并能说出理由；

3、通过与有理数分类的对比，理解和掌握无理数的定义和分类。

(二)能力训练目标: 1、让学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和合作精神。

2、让学生能正确地进行推理和判断，训练他们的思维判断能力。

(三)情感与价值观目标: 1、通过动手操作、小组合作培养合作和探究精神，建立自信心，提高学习数学的热情。

2、了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神。

三、教学重难点

（一）教学重点：

1、采用拼图的形式让学生经历无理数发现的过程，感知生活中存在着不同于有理数的数。

2、掌握无理数的定义和分类，能够列举和判断一个数是否是无理数。

（二）教学难点：

1、对两个边长为1的正方形拼图得出的面积为2的正方形边长a是个什么样的数的探究过程。

2、判断一个数是否为有理数，能够按要求列举无理数。

四、教具、学具：

正方形纸片、剪刀、多媒体

五、教学过程：

（一）创设情境，导入新课：

讲故事：（播放课件）

1

早在公元前500年，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述。后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，于是，他认为在生活中还存在除有理数之外的另一种数。（展示PPT1）

【师】到底谁的观点正确呢？我们以前学的有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？这节课我们就共同来研究这个问题。（板书课题：2.1认识无理数）（展示PPT2）——2min

学生认真听故事。做好学前准备。

（二）操作观察，总结归纳：

1、分组活动：

【师】请同学们拿出课前准备好的正方形和剪刀，以小组为单位，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。（展示PPT3）

1

1

学生分小组讨论，组长带领组员动手剪、拼。——6min

各小组组长展示自己的操作成果（利用投影仪）——2min 教师演示拼图过程（展示PPT4）

还可以有更多的方法吗？（展示PPT5）

2、探索新知

【师】以小组为单位，讨论如下问题：拼成的大正方形的面积是多少？设大正方形的边长为a，

a应满足什么条件？a是整数吗？是分数吗？是有理数吗？（展示PPT6）——3min 【师】第一个问题？

【生】新正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，等于2，得到的等式为a2=2。（展示PPT7）

【师】a是整数吗？

2

【生】因为12=1，22=4，所以a应在1和2之间，故a不能是整数。

【师】这是从数的角度进行解释，可以换个角度吗？（展示PPT8）

【生】在△ABC中，AC=1，BC=1，AB=a，根据三角形的三边关系： AC-BC

a≠1，∴

a不是整数。

【师】（PPT8展示完成）这是从形的角度进行解释，从两个角度得到了相同的结果，a不是整数。那么a是分数吗？（展示PPT9）

【生】因为两个相同的最简分数的乘积仍为分数，所以a不可能是分数。

【师】a是有理数吗？（展示PPT10）

【生】整数和分数统称为有理数，而a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。

3、做一做：（播放课件）

【师】请大家看黑板上的图，同桌两人思考并讨论以下问题：

（1）以直角三角形的斜边b为边长所作的正方形的面积是多少？b满足什么条件？

（2）b是有理数吗？——3min（展示PPT11）

【生】根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，所以以斜边为边长所作的正方形的面积为5。

【生】因为22=4，32=9，22

【师】同学们总结得非常好，由以上两个问题的讨论中我们可以知道，数a，b确实存在，但都不是有理数。生活中确实存在不同于有理数的数，它就是——无理数。（展示PPT13）那这些无理数有多大呢？（展示PPT14）

4、小组讨论研究

下图中，3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。——3min

1

1

a

面积为2

a

2

【生】因为边长为a的正方形的面积为2，介于边长为1和边长为2的两个正方形的面积之间，2

所以1＜a＜2。

【师】边长a的整数部分是几？十分位是几？

3

【生】（展示PPT15）

面积s 1

1

【生】都不可能，因为有限小数和无限循环小数均可化为分数，a不是分数。

【师】事实上，a=1.414 213 56…，它是一个无限不循环小数；同样的，前面的b值我们也可以通过计算得到： b=2.236067978…也是一个无限不循环小数。

【师】让我们再回忆一下有理数的分类。

【生】有理数包括整数和分数。

【师】如果从小数的角度可以怎么分类呢？

【生】包括整数和部分小数（分数），部分小数包括有限小数和无限循环小数。（展示PPT17）

【师】从有理数的分类我们知道，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。但无限不循环小数不在上述分类中，我们把无限不循环小数叫做无理数。那么哪些数字属于无理数？（展示PPT18）

【生】我们在前面学习的a、b这些数字。

【生】圆周率π

【生】一些特殊的无限不循环小数，如2.010010001…（相邻两个1之间零的个数逐次增加1） 【师】大家说得都没错，常见的无理数有三类：（展示PPT19）

1、前面的a、b，也是我们后面要研究的开方开不尽的数；

2、π以及含有π的最简代数式；

3、特殊规律的无限不循环小数。

5、继续播放课前故事（展示PPT20）

希伯索斯当时的发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，他们试图封锁这一发现，然而希伯索斯早己将这个发现偷偷传播出去了。可是后来还是被毕氏围捕，投进了大海。但真理是不可战胜的，后来古希腊人证实了希伯索斯的发现。

（三）巩固练习，深化认识：

例1、

下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？（展示PPT21）

3.14，-，0.

，0.1010001…….(相邻两个1之间0的个数逐次加2)，π，2.02002000200002

例2、如图正方形网格中，小正方形的边长为1，则图中△ABC中，边长为无理数的边数有（ ）

A.0条 B.1条 C.2条 D.3条（展示PPT22）

4

（四）达标测试：

1、无限小数是无理数。 ( ) 2、无理数是无限小数。 ( ) 3、循环小数是有理数。 ( ) 4、无限不循环小数是无理数。 ( ) 5、任何一个分数一定是有理数. ( )（展示PPT23）

6、在数

，

，

，

，0中，整数：____________，分数：____________，

无理数：__________。

7、如果x2=10，则x是一个______数，x的整数部分是 _______。

8、任意写出两个大于6且小于7的无理数。（展示PPT24）

（五）课堂小结，课外延伸：

【师】通过今天这节课的学习你都有哪些收获？（展示PPT25）

【生】通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，我感受到生活中不仅有理数，还有无理数。

【生】无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数包括开方开不尽的数、π以及含有π的最简代数式；特殊规律的无限不循环小数。（展示PPT26）

六、课后作业：

1、必做题：课本习题

2、选做题：课本“试一试”

七、板书设计

2.1认识无理数

无理数：既不是整数也不是分数。

定 义：无限不循环小数

常见的无理数：

1、开方开不尽的数；

2、π以及含有π的最简代数式；

3、特殊规律的无限不循环小数。

5