3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计内容推荐

§3.2.2复数代数形式的乘除运算

【学习目标】

1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；

2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；

【重点难点】

重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用. 【学法指导】

复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将i换成1；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 2【知识链接】

1.复数z1与z2的和的定义：z1z2abicdiacbdi；

2.复数z1与z2的差的定义：z1z2abicdiacbdi；

3.复数的加法运算满足交换律:z1z2z2z1；

4.复数的加法运算满足结合律: z1z2z3z1z2z3；

5.复数zabia,bR的共轭复数为zabi.

【问题探究】

探究一、复数的乘法运算

引导1:乘法运算规则

设z1abi、z2cdia,b,c,dR是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：

z1z2 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成－1，并且

把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

引导2:试验证复数乘法运算律

（1）z1z2z2z1

2

（2）z1z2z3z1z2z3

（3）z1z2z3z1z2z1z3

点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

探究二、复数的除法运算

引导1：复数除法定义：

满足cdixyiabi的复数xyix,yR叫复数abi除以复数cdi 的商，记为：abicdi或者引导2：除法运算规则：

利用cdicdicd.于是将222abicdi0. cdiabi的分母有理化得：

cdi原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcad22i. 2222cdcdcd∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2i. 222cdcd点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数cdi与复数cdi，相当于我们初中学习的2232的对偶式32，它们之积为1是有理数，而cdicdicd是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

【典例分析】

例1计算12i34i2i

引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.

点拨：在复数的乘法运算过程中注意将i换成－1.

2

例2计算：（1）34i34i

；

（2）1i引导:按照复数乘法运算展开即可. 2.

点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等. 例3计算(12i)(34i)

引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.

点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法. 例4计算(14i)(1i)24i

34i引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.

点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.

【目标检测】

2i1.复数等于（

）

1+i A．4i

B．4i C．2i

D．2i

22.设复数z满足A．2i

12ii，则z（ ）

z

B．2i

C．2i

D．2i

133.复数22i的值是（ ）

A.i B.i C.1 D.1 4.已知复数z与z28i都是纯虚数，求z. 23 提示：复数z为纯虚数，故可设zbib0，再代入求解即可.

5*.(1)试求i,i,i,i,i,i,i,i的值. (2)由（1）推测inN的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来.

n*12345678

提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.

【总结提升】 复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把i换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性. 【总结反思】

知识 . 重点 . 能力与思想方法 . 【自我评价】你完成本学案的情况为( ) A.很好 B.较好 C.一般 D.较差

2

2011年训练试题

i为虚数单位，2．（浙江理2）把复数z的共轭复数记作z，若z1i，则1

()zz

．3．（天津理1）i是虚数单位，复数13i

．

1i1i12i9．（江西理1）若z，则复数z

．

ii2

．

13．（北京理2）复数12i4．（四川理2）复数i

．

6．（全国新课标理1）复数2i

．

12i7．（全国大纲理1）复数z1i，z为z的共轭复数，则zzz1

．

12．（广东理1）设复数z满足(1i)z2，其中i为虚数单位，则z

．

14．（安徽理1）设i是虚数单位，复数1ai为纯虚数，则实数a

．

2i15．（江苏3）设复数z满足i(z1)32i（i是虚数单位），则z的实部是

．