三 反证法与放缩法教案和学案内容

课题名称

选修4-5 第二讲

证明不等式的基本方法

《反证法与放缩法（第1课时）》

授课者

教

材

分

析

王丽玲

前面所讲比较法、综合法、分析法几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

教

学

目

标

（一）知识与技能：

了解反证法的概念和步骤。培养学生用反证法证明不等式问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题能力。

（二）过程与方法：

通过一些简单不等式证明问题，使学生了解反证法的基本步骤，引导学生体会适宜于用反证法证明的不等式的特点．探索用反证法证明不等式的技巧。学会用反证法证明不等式。

（三）情感态度与价值观：

培养学生的逻辑推理能力，在推理过程中体验数学活动充满探索性和创造性，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

教学的重难点

教学方法

重点：理解反证法的思路方法和步骤，分析要用反证法证明的不等式问题的特点，理解用反证法证明不等式的思想。

难点：反证法的证明技巧，从不等式结论的否定推出矛盾，得到不等式的证明。

本节课采用以探究发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式，结合导学案和多媒体辅助教学。

教学环节

问题引入，引发思考

（一）

问题情境

教学内容

设计意图

从对3个较简单的命题的研究，引入反证法，让学生初步体会反证法的思想方法。

请判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由。

1.三角形的三个内角中至少有一个大于等于60°

2.两条直线相交只有一个交点。

3.若|a|-1 思考：用什么证明方法解决问题？

师生活动：分析3个命题的真假，引导学生发现判断的方法：正难则反，逆向思维，引出反证法。

1

概念巩固

加深理解

（一）反证法的定义

在证明一个命题时，先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）相矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，称为反证法。

（二）反证法的证明步骤

（1）反设——假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。

（2）归谬——从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

（3）存真——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

师生活动：师生共同研讨反正法的特点，需要注意的地点及基本步骤。

自主检测

强化知识

引导学生回顾反证法的基本思想方法及其证明步骤。为后面采用反证法证明不等式提供方法依据。

骤：

①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这也三角形内

角和为180°矛盾。故假设错误。

②所以一个三角形不能有两个直角。

③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°. 通过检测1检测学上述步骤的正确顺序为______________. 生对反证法证明2.若要证明“a,b中至少有一个小于2”，用反证法证明时步骤的掌握，通过检测2-4引导学生应假设为_________________ 重视反证法第一3.命题“a,bR,若|a1||b1|0,则a1且b1

”步——如何正确反设。

用反证法证明时应假设为________

4.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0

,用反证法求证

a0,b0,c0时的假设为(

)

A.a0,b0,c0 B.a0,b0,c0

1.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步C.a,b,c不全是正数 D.abc0

师生活动：学生自主完成检测题，通过课题交流，师生共同完善、补充如何正确的否定命题结论，走好第一步。

2

知识应用

例题剖析

1x1y,例1：已知x,y0,且xy2,求证：中至直接证法不能实yx反证法通常用于现证明的目的的情况，首先应该让少一个小于2。

学生对于问题的探究1：例1的结论包含了哪些情况？你能用直接证法来特点和困难有一证明这个问题吗？

定的认识，才能使师生活动：分析例1结论的几种情况，学生通过亲自尝试，学生认识引入反认识到直接证明的困难，从而考虑用反证法证明。师生共证法的必要性，并尝试用反证法去同完成例1 的完整证明。教师引导学生发现，像这种有证明。

“至少”“至多”的命题的证明一般从反面去证明.

【变式训练1】

已知f(x)x2pxq，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|

1中至少有一个不少于。

2师生活动：学生独立思考，给出证明，引导学生认识当所

给条件较少，矛盾不明确时，如何根据条件创造矛盾。

例2.已知实数a,b,c，abc0,abbcca0,

引导学生关注条abc0,求证：a0,b0,c0.

件“轮换对称”的探究2：该命题结论的否定（a,b,c不全是正数）包含几种特点，并学习用这种特点简化证明。

情形，可否简化？

师生活动：教师提出问题，先由学生思考回答，引导学生

注意有多种情形，由于反面情况太多，将学生的思路引到

如何简化的问题上，让学生发现特点，并独立完成证明过

程。

【变式训练2】

若a,b,c都是小于1的正数，求证：

学生独立完成训练题，进一步强化反证法证明不等式的基本思想和方法技巧。

引导学生及时归纳反证法证明不等式的基本思想。

(1a)b,(1b)c,(1c)a不可能同时大于

方法小结

【说一说】

1

4你能总结出要用反证法证明的不等式的特点，以及用反证法证明不等式时要注意的问题吗？

师生活动：教师引导学生总结，凡涉及不等式为否定性命题、唯一性、存在性命题可考虑反证法。如证明中含有含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式。用反证法证明3

不等式时，正确地否定不等式的结论非常重要，应全面、、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用。

课外拓展

【学家眼中的反证法】

维也纳科学哲学家皮普尔说：“不能被反正的理论就不能称为科学的理论。”

牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一”。

英国数学家哈代也曾这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让给对方！”

德国数学家希尔伯特说：“禁止数学家使用反证法，就象禁止拳击家使用拳头。”

板书设计

反证法

反证法三步骤

（1）反设

（2）归谬

（3）存真

例1 让学生体会认识到反证法对于研究数学的重要性。

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