3.三个正数的算术-几何平均不等式全国优秀课堂实录

三个正数的算术-几何平均不等式

郑观富

一、教学目标：

1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题；

2．了解基本不等式的推广形式。

二、教学重点：

三个正数的算术-几何平均不等式及应用。

三、教学难点：

利用三个正数的算术-几何平均不等式解决最值问题，能证明一些简单的不等式，

四、教学过程：

（一）、复习回顾：

a

＋b定理2（基本不等式）：如果a，b是正数，那么

2

≥ab

（当且仅当a＝b时取“＝”号）

a

＋b说明：1）我们称2

为a，b的算术平均数，称ab

为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2）要求a，b都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件.

（二）、知识学习：

abc3abc。当且仅当abc时，等定理3：如果a,b,cR，那么3号成立。

类比基本不等式，定理3的文字可叙述为：

。

aa2an推广：

1≥na1a2an

。当且仅当a1a2an时，等号n成立。

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,cR，那么a3b3c33abc（当且仅当abc时，等号成立）呢？试证明。

（三）、例题分析：

3例1：求函数y2x2(x0)的最小值。

x

1

阅读下面两种解法：

312122x2332x2334∴ymin334

xxxxx333122232解二：y2x22x26x当2x即x时

x2xx解一：

y2x2122331226324

2上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？

变式训练1

4（1）函数y3x2(x0)的最小值是

。

x1（2）若a,bR且ab,求a的最小值。

(ab)b

由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_______________

例2

：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．

由例题，我们应该更牢记

一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.

∴ymin262

3

（三）、巩固练习

12(x0)的最小值是

(

) 2xA.6

B.66

C.9

D.12 162.函数y4x22的最小值是____________ (x1)21.函数y3x3．函数yx4(2x2)(0x2)的最大值是（

）

1632A.0

B.1

C.

D.

27274.(2009浙江自选)已知正数x,y,z满足xyz1，求4x4y4z的最小值。

5（2008，江苏，21）设a,b,c为正实数，求证：111abc23

a3b3c32

（四）、课堂小结：

通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

（五）、课后作业

P10习题1.1第11，12，13题

五、教学反思：

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