3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教案教学设计

3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

一、三维目标

1．知识与技能

掌握复数加减运算的法则及运算律，理解复数加减运算的几何意义．

2．过程与方法

在问题探究过程中，体会和学习

类比、数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程．

3．情感、态度与价值观

通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．

二、重点难点

重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题．

难点：复数加减法的几何意义及其应用．

三、教材分析

本节课采取自主探究式教学，这节课主要是复数的加减法运算，学生可以类比实数的加减法运算理解复数的加减法运算，让学生自主探讨例题1及变式训练的解法，总结规律方法．在讨论复数加法的几何意义时，引导学生联想向量的加法并运用平行四边形法则来进行运算，复数减法的几何意义，可联想向量的减法运用三角形法则来进行运算．教学中应让学生对复数的加法与向量的加法是怎样联系起来并得到统一的过程做出探究．对于一些简单的问题让学生动手去做，让学生起到主体作用，教师起到主导作用．

四、教学流程

题1生分组探究例题2解法，通过引导学生画图，认识复数与向量的对应关系，联想向量运算的几何意义，求出z1＋z2，完成互动探究．

五、教学过程

【问题导思】

我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： a+b=b+a ab=ba (a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc) a(b+c)=ab+ac 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？

已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．

1．多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？

【提示】

两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. 2．复数的加法满足交换律和结合律吗？

【提示】

满足．

(1)运算法则：

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则

①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，

②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. (2)加法运算律：

交换律

结合律

【问题导思】

→→

如图，OZ1，OZ2分别与复数a＋bi，c＋di对应．

复数加减法运算的几何意义

z1＋z2＝z2＋z1

(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)

→→→→→→1．试写出OZ1，OZ2及OZ1＋OZ2，OZ1－OZ2的坐标．

→→【提示】

OZ1＝(a，b)，OZ2＝(c，d)，

→→OZ1＋OZ2＝(a＋c，b＋d)，

→→OZ1－OZ2＝(a－c，b－d)．

→→→→2．向量OZ1＋OZ2，OZ1－OZ2对应的复数分别是什么？

→→【提示】

OZ1＋OZ2对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，

→→OZ1－OZ2对应的复数是a－c＋(b－d)i.

图3－2－1

(1)复数加法的几何意义

→→如图3－2－1：设复数z1，z2对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，→则与z1＋z2对应的向量是OZ. (2)复数减法的几何意义

图3－2－2 →→→→如图3－2－2所示，设OZ1，OZ2分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且OZ1，OZ2不→→→共线，则这两个复数的差z1－z2与向量OZ1－OZ2(即Z2Z1)对应，这就是复数减法的几何意义．

→→这表明两个复数的差z1－z2(即OZ1－OZ2)与连接两个终点Z1，Z2，且指向被减数的向量对应. 例题分析

例1 计算下列各题：

(1)(2－3i)＋(－2＋3i)＋1；

2i1i1(2)(－－)－(－)＋i；

2332(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．

【思路探究】

解答本题可根据复数加减运算的法则进行．

【自主解答】

(1)原式＝(2－2)＋(－3＋111111(2)原式＝(－＋)＋(－－＋1)i＝＋i. 322366(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.

规律方法

复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．

变式训练

已知复数z满足z＋1＋2i＝10－3i，求z. 【解】

z＋1＋2i＝10－3i，

∴z＝(10－3i)－(2i＋1)＝9－5i. 33)i＋1＝1－i. 22

复数加减法的几何意义

→→例2 设OZ1及OZ2分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1＋z2，并在复→→平面内作出OZ1＋OZ2. →→【思路探究】

利用加法法则求z1＋z2，利用复数的几何意义作出OZ1＋OZ2. 【自主解答】

∵z1＝5＋3i，z2＝4＋i，

∴z1＋z2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i →→∵OZ1＝(5,3)，OZ2＝(4,1)，

→→由复数的几何意义可知，OZ1＋OZ2与复数z1＋z2对应，

→→∴OZ1＋OZ2＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4)．

→→→作出向量OZ1＋OZ2＝OZ如图所示．

规律方法

1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．

2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．

3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．

互动探究

→→

在题设不变的情况下，计算z1－z2，并在复平面内作出OZ1－OZ2. 【解】

z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i. →→→OZ1－OZ2＝Z2Z1，

→→→故OZ1－OZ2即为图中Z2Z1.

[课堂练习]看课件

数与形是数学中两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法．本章中有关复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．

解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．

课堂小结

1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．

2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．

作业