小结教案和课堂实录

基本不等式的应用

高考要求：掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单最大（小）值问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

三维目标：1、知识与能力目标：掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→

剖析归纳证明→

几何解释→

应用（最值的求法、证明）的过程呈现，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重点教学难点及解决措施：

重点：从不同角度探索基本不等式用。

难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；

教学流程

一、

创设情景，提出问题；

如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标abab2的证明过程及应

是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式a2b22ab。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

同时，（几何画板辅助教学）通过几何画板演示，

让学生更直观的抽象、归纳出以下结论：

二、抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有a2b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立。

你能给出它的证明吗？ 特别地，当a>0,b>0时，在不等式a2b22ab中，以b分别代替a、a、b，得到什么？

【归纳总结】

如果a,b都是正数，那么号成立。

我们称此不等式为基本不等式。

其中术平均数，ab称为ab2abab，当且仅当2a=b时，等称为a,b的算a,b的几何平均数。

三、理解升华：

1、联想数列的知识理解基本不等式

已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

2、探究基本不等式证明方法：

2(ab)0展开证明。

方法一：作差比较或由

方法二：分析法（完成课本填空）

3、探究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式abab(a,b0)2的几何解释，通abADaOCbB过数形结合，赋予不等式ab(a,b0)2几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

四、题型分类

题型一

利用基本不等式 证明不等式

思考：若x0,x的最小值为________,此时x_________.

【例1】

已知11求证：(ab)(a>0，b>0，证明下列不等式: ab)41x变式训练1：已知a>0，b>0，证明下列不等式: (1)a1112

(2)(a)(b)4

aab题型二

利用基本不等式 求最值

【例2】

（1）已知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小值是

_______,此时x=___,y= _____ （2）已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；

11xy11变式训练2：已知x>0，y>0，且2x＋y＝2，则＋的最小值xy为________；

感悟：若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；

若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。 简记为：“一正、二定、三相等”。

五、反思总结，整合新知：

两种思想，三个注意

六、布置作业： 1、

已知x0，若x＋81的值最小，则x为（ ）. xA． 81 B． 9 C． 3 D．16

12．设x，y∈R，a>1，b>1，若a＝b＝3，a＋b＝23，则＋xyx1y的最大值为 ( ) 31A．2

B．

C．1

D．

223．已知0

(

) 1132A. B.

C.

D.

32434、若a>0,b>0,且ab4，则（ ）

A.111 B.ab11 C.ab2 D.a2b24 ab2a5、若实数a，b，满足ab2，则33b的最小值是（ ）. A．18 B．6 C．23 D．32

二、填空题：

16求函数yx的值域_______ x7．已知x，y∈R，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．

34

8．若a>0,b>0,且a+b=2,则ab的最大值为_______,此时＋xya=_____,b=_____。

9．设x1，则函数yxx46的最小值是 。

x110、若x>0,求f(x)4x9的最小值