阅读与思考 九连环教学实录及点评

九连环教学设计

初次阅读这个内容，由于以前没有见过九连环，还不容易理解，所以要阅读，仔细阅读，慢慢理解，慢慢思考。它编排在数列内容的后面，明显与数列有关联的，是数列的扩展与延伸，是数列的实际应用。是递推思想的训练，是递推数列递推关系的建立的实际应用，是归纳推理，演绎推理的训练与应用。

一、教学目标

1.知识目标

（1）通过对本课阅读与思考的学习，进一步加深对新定义的理解与学习。

（2）进一步掌握求本类型递推数列的通项公式，了解递推法、递推思想。

（3）了解演绎推理和归纳推理。

（4）能比较熟练第解开九连环。

2.能力目标

（1）通过对九连环实际操作，培养学生观察问题、提出问题、分析和解决问

的能力。在玩耍过程中，训练思维，开发智力，逐步形成严密的逻辑推理能力。

（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。

3.情感目标

通过对九连环的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神，了解我国优秀的数学文化遗产，更加热爱我们的爱国。

二、重难点分析

重点是规则的理解及演绎，递推关系的建立与理解。

难点是两个记号K(n)，k(n)意义及递推关系。关键是对这两个记号的理解和演绎，对n取值归纳，演绎的理解。

三、说学情分析

学生阅读理解的能力差，动手能力薄弱，对游戏，玩耍有兴趣，能接受新事物。

五、教学过程

教材首先对九连环进行了描述，就是说那个是九连环。然后对玩耍九连环做了规定，就是要按一定规律操作，这就是规则，当然还有其他规则。书上的规则是：为了解下第i(3)个圆环，必须先解下前(i2)个圆环，这是因为：如果前(i1)已经被解下，第i个环就无法再解下，如果前(i1)个圆环已经被解下，第(i1)的个圆环就很容易解下，相反地，要套上第i个圆环，就必须先套上前i2个圆环，套上一个环与解下一个环的过程正好相反，所需要的次数相同，严格按照这个规则，我们来思考，探究，推算解开九连环至少需要移动圆环多少次。

1、记K(n)表示解下n个圆环所需要的最少移动次数

考虑要解下n圆环的情况。根据前面的规则，做以下的演绎推理，这就从一般到特殊的推理。为了方便起见，用K(n)表示解下n个圆环所需要的最少移动次数。这里实际上是对K(n)做了一个定义。

（1）若n=1时，就是从九连环退化为1连环，显然K(1)1，若n=2时，就是从九连环变成了为2连环，根据前面的规则，可以先解下第2个环，再解下第1个环，所以K(2)2。实际上这是递推的基础，也是递推法的基础，或者后面学习的数学归纳法的第一步递推的基础。也是对K(n)进行演绎。

n3）（2）现在再来考虑要来解下这（个圆环的一般情况，我们可以考虑先解下第n环的情况，要解下第n个环，必须解下前n2个环，需要K(n2)次，然后解下第n个环，算一次，现在只剩下第n1的个环。

记k(n)表示前n1(n2)个环已经解下后，再解下第n个环所需要的次数

为了方便，我们另外用k(n)表示前n1(n2)个环已经解下后，再解下第n个环所需要的次数，这时解下这n个环需要：

K(1)1，K(2)2，K(n)K(n2)1k(n1)

显然k(1)1，由k(n)的意义知，前n1(n2)个环已经解下后，要解下第n的个环，需要将前n1(n2)个环套回杆上，需要k(n1)次，这时再移动1次，就可以解下第n个环，然后在将第n1解下，有需要k(n1)次，所以得：

k(1)1，k(n)2k(n1)1

2、由上面的递推公式来计算解下n所需要的次数。

先计算k(n)，我们由迭代知道：

k(n)2k(n1)1

22k(n2)21

23k(n3)2221

24k(n4)232221

=………

2n1k(1)2n22n32n42221

2n12n22n32n42221

12n

122n1

k(n)2n1

3、由k(n)2n1得：k(n1)2n11这时有：

K(1)1，K(2)2，K(n)K(n2)2n1

以下又由迭代的方法来求K(n)，注意到n,n2有相同的奇偶性，递推公式里每次少2，若n为奇数，不断减少2，最后会减少到1，若n为,偶数，不断减少2，最后会减少到2，由此需要对n分奇偶分别进行计算。

4、K(1)1，K(2)2，K(n)K(n2)2n1

（1）若n为偶数时

K(n)K(n2)2n1

K(n4)2n12n3

K(n6)2n12n32n5



K(2)2n12n32n523

2n12n32n5232

2(12n)122

(2n12)

（2）若n为奇数时

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K(n)K(n2)2n1

K(n4)2n12n3

K(n6)2n12n32n5



K(1)2n12n32n522

2n12n32n5221

12n1122

(2n11)

1n1(21)（n为奇数时）3K(n)

2(2n12)（n为偶数时）313K(9)(2911)341

所以，解九连环最少需要移动圆环341次。

5、小结：

（1）了解了九连环的结构。

（2）掌握了一个玩耍规则，初步能玩耍。

（3）通过递推数列通项公式的应用，能求出按本规则玩耍时的最少次数。

（4）初步了解归纳，演绎原理，以及简单动手能力。

（5）培养学生初步阅读，理解，思考的思维品质。

6、课后思考：

（1）九连环是否还有其他规则的玩耍方法？有怎样计算解九连环所需要的最少次数？

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（2）汉诺塔游戏，它曾经是全国中学生数学竞赛题。