小结优秀教案说课稿

第一章

计数原理复习与小结

【教学目标】

1.

理解两个原理，并会应用解题；

2.

掌握排列组合的概念并且会灵活运用；

3.

掌握二项式定理的内容和熟练运用解题。

【导入新课】

复习回顾：1.加法原理与乘法原理；

2.排列和排列数的概念、组合与组合数的概念，以及灵活运用解题；

3．二项式定理的内容。

新授课阶段

主干知识梳理

1．分类计数原理和分步计数原理

如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．

2．排列与组合

(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是n！mAm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成A＝. nn(n－m)！来源学科网[来源学科网](2)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是

n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！mCm＝，或写成C＝. nnm！m！(n－m)！(3)组合数的性质

n－m①Cm；

n＝Cn－1mm②Cn＋1＝Cn＋Cm. n3．二项式定理

n01n－12n－22n－rr0n(1)定理：(a＋b)n＝C0b＋Cnab＋…＋Crb＋…＋Cn…，nab＋Cnananab(r＝0,1,2，n)．

(2)二项展开式的通项

n－rrTr＋1＝Crb，r＝0,1,2，…，n，其中Crnan叫做二项式系数．

(3)二项式系数的性质

①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，

n1n－1kn－k即C0n＝Cn，Cn＝Cn，…，Cn＝Cn，….

②最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数

取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．

③各二项式系数的和

12knna．C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＋…＋Cn＝2；

22r132r＋1b．C0＋…

n＋Cn＋…＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋…＋Cn1nn－1＝·2＝2. 2典例分析

例：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：

（1）男甲排在正中间；

（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；

（3）三个女生排在一起；

（4）三个女生两两都不相邻；

例、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（

）

分组问题

问题1：3个小球分成两堆，有多少种分法？

问题2：4个小球分成两堆，有多少种分法？

问题3：6个小球分成3堆，有多少种分法？

分配问题

问题1：3个小球放进两个盒子，每个盒子至少一个，有多少种放法？

问题2：4本书分给两个同学，每人至少一本，有多少种放法？

问题3：三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，分配方案共有多少种？

多个分给少个时，采用先分组再分配的策略

练习：

(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?

(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法? 例、

从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法? 分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问题可用“隔板法”处理. 练习：

1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？

2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？

混合问题，先“组”后“排”

例对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？

练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种. 涂色问题

例：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？

二项式定理

432(x1)4(x1)6(x1)4(x1)1

2 化简

x25)

1.求(：

2x的有理

4.

是

；各项系数之和为_____

课堂小结

1．排列、组合应用题的解题策略

(1)在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．

(2)区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．

(3)排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组

合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．

2．二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：

一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值．这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解．

另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：

n－rr(1)Crb是第r＋1项，而不是第r项；

nan－rr(2)运用通项公式Tr＋1＝Crb解题，一般都需先转化为方程(组)求出n、r，然后代入na通项公式求解．

(3)求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求出所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系．

(x7y)n

展开式的二项式系数之和为128、那么展开式的项数